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九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.6 一元二次方程根与系数的关系
第四章《一元二次方程》
4.6 一元二次方程根与系数的关系
实验与探究
（1）解下面的一元二次方程：
①x²+3x+2=0，②x²-5x+6=0，
③3x²+x-2=0，④2x²-4x+1=0.
（2）根据（1）中所求的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积，并把结果填入下表：
当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根是
于是两个根的和为
两个根的积为
所以，一元二次方程的根与系数有以下的关系：
如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是x1，x2，那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
例1 关于x的方程3x²+mx-4=0有一个根是2，求另一个根及m的值.
解
设方程的另一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得
x1+2=-m/3 ①
2x1=-4/3 ②
由②，得x1=-2/3
代入①，得-2/3+2=-m/3
解得m=-4
所以，方程的另一个根是-2/3，m的值是-4.
对于例1，你还有其他的解法吗？
例2 设x1，x2是方程2x²+5x+1=0的两个根，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）；
（2）1/x1+1/x2.
解
由一元二次方程根与系数的关系，得
x1+x2=-5/2，x1x2=1/2.
（1）（x1+1）（x2+1）=x1x2+(x1+x2)+1=1/2-5/2+1=-1;
（2）1/x1+1/x2=x1+x2/x1x2=(-5/2)÷（1/2）=-5.
练习
1.不解方程，说出下列一元二次方程两个根的和与积；
（1）x²-3x+1=0；
（2）2x²+3x=0.
2.已知方程5y²+ky-6=0的一个根是2，求它的另一个根和k的值.
（1）+y1y2+y2²；
（2）y2/y1+y1/y2.
5y²-7y-6=0
y1+y2=7/5
y1/y2=-6/5
（1）y1²+y1y2+y2²+y1y2
=（y1+y2）²-y1y2
（2）y2/y1+y1/y2
=y2²/y1y2+y1²/y1y2
=y1²y2²+2y1y2-2y1y2/y1y2
=（y1+y2）²-2y1y2/y1y2
=109/25×5/6
=-109/30
