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九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.5 一元二次方程根的判别式
第四章《一元二次方程》
4.5 一元二次方程根的判别式
实验与探究
（1）你会解方程x²+2x+5=0吗？试一试.
x²+2x+5=0
解：
x²+2x+1=-5+1
（x+1）²=-4
a=1 b2 c=5
b²-4ac=2²-4×1×5=-16＜0
（2）由4.3节我们知道，当b²-4ac≥0时，一元二次方程
ax²+bx+c=0 ①
可以利用求根公式
求出它的根.
你发现当b²-4ac＞0与b²-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？
当b²-4ac＞0时，由于
是正数，-
是负数，所以
是两个不相等的实数.因此，方程①有两个不相等的实根：
是正数，-是负数，所以是两个不相等的实数.因此，方程①有两个不相等的实根：
如果b²-4ac=0，那么
，这时方程①有两个相等的实根：
，这时方程①有两个相等的实根：x1=x2=-b/2a
如果b²-4ac＜0，将方程①配方后，得
（x+b/2a）²=b²-4ac/4a²
方程右边由于分母4a²＞0，所以b²-4ac/4a²＜0，而（x+b/2a）²不可能是负数，这时方程①没有实根.
由此可见，一元二次方程ax²+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系
数的代数式b²-4ac的值的符号，因而把b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式（discriminant），通
常用△表示，即△=b²-4ac.
把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到
一元二次方程
ax²+bx+c=0
当△＞0时有两个不相等的实根；当△=0时有两个相等的实根；当△＜0时没有实根.
上面结论的逆命题也是正确的，你能说出它的逆命题吗？
例1 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2x²+x-4=0；
（2）4y²+9=12y；
（3）5（t²+1）-6t=0.
解
（1）这里a=2，b=1，c=-4.
∵△=b²-4ac=1²-4×2×（-4）=33＞0
∴方程有两个不相等的实根.
（2）把原方程化为一般形式，得
4y²-12y+9=0
这里 a=4，b=-12，c=9
∵△=b²-4ac=（-12）²-4×4×9=0.
∴原方程有两个相等的实根.
（3）把原方程化为一般形式，得
5t²-6t+5=0
这里 a=5，b=-6，c=5
∵△=b²-4ac=（-6）²-4×5×5=-64＜0
∴原方程没有实根.
例2 已知关于x的一元二次方程 kx²-3x+1=0
有两个不相等的实根。
（1）求k的取值范围；
（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根.
解
（1）∵关于x的一元二次方程 kx²-3x+1=0
有两个不相等的实根.
∴△=（-3）²-4k＞0
即 9-4k＞0
解不等式，得k＜9/4.
∵kx²-3x+1=0是一元二次方程，
∴k≠0
故k的取值范围是k＜9/4且k≠0.
（2）取不等式k＜9/4的一个正整数解k=2，则方程为
2x²-3x+1=0
解这个方程，得
x1=1，x2=1/2
挑战自我
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程
x²-12x+k=0
的两根，求k的值.
（1）当3为腰时，k=27.
（2）当3为底时，△=0，k=36.
练习
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）3y²-5y-2=0； （2）2x²-9x+6=0；
（3）5x²+10x+6=0；（4）5t²-
+3=0.
+3=0.2.k为何值时，关于x的一元二次方程
3x²-4x+（k+1）=0
有两个相等的实根？
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崔老师
男，中教高级职称
市优秀教师、骨干教师，数学学科带头人。在教学中注重学生自学能力和数学思维能力的培养，教学成绩突出。
