课程内容
九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.2 用配方法解一元二次方程(第一课时)
第四章《一元二次方程》
4.2 用配方法解一元二次方程
第一课时
观察与思考
观察下面的三个一元二次方程:
(x+5)²=9,
x²+10x=1-16. ③
(x+5)²=9
(1)根据平方根的意义,你会解方程①吗?方程①有几个根?
解:x+5=±3
x+5=3或x+5=-3
∴x1=-2 x2=-8
(2)比较方程②与①,你会发现它们有什么联系?根据这种联系,你会解方程②吗?
x²+10x=1-16
解:(x+5)²=9
x+5=±3
(3)比较方程②与③,你发现它们有哪些相同和不同?对于解方程③,由此得到什么启示?
对于方程③,小莹的解法是:
在方程③的两边都加上25,得
x²+10x+25=9.
即(x+5)²=9.
由于平方根的意义,得
x+5=±3
所以,x1=-5+3=-2,
x2=-5-3=-8.
你同意小莹的解法吗?
(4)想一想,为什么在方程③的两边都加上25之后,方程③的左边就成为一个完全平方式?与同学交流.
当二次项的系数为1时,可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方,就
把方程的左边配成了一个完全平方式,从而可以由平方根的意义来求解方程,这种解一元二次方程的方法叫做配
方法(solving by completing the square).
例1 解方程:
(1)x²+4x=12; (2)x²-3x+2=0.
解
(1)配方。方程两边都加4,得
x²+4x+4=16,
即 (x+2)²=16.
由平方根的意义,得
x+2=±4.
所以 x1=2,x2=-6.
(2)移项,得x²-3x=-2
配方,方程两边都加上(-3/2)²,得
x²-3x+(-3/2)²=-2+(-3/2)²,
即 (x-3/2)²=1/4.
由平方根的意义,得
x-3/2=±1/2.
所以
x1=2,x2=1.
挑战自我
你会用配方法解方程
(x+1)²+2(x+1)=8
吗?你能找到几种解法?
(x+1)²+2(x+1)=8
(x+1)²+2(x+1)+1=8+1
(x+1+1)²=9
(x+2)²=9
x+2=±3
∴x1=1,x2=-5
或
x²+2x+1+2x+2-8=0
x²+4x-5=0
x²+4x+4=5+4
(x+2)²=9
x+2=±3
∴x1=1,x2=-5
练习
1.在下面横线上各填上一个数,使各式成为完全平方式:
(1)x²+14x+_=(x+_)²; (2)x²-20x+_=(x+_)²;
(3)x²+3/2x+_=(x+_)²; (4)x²-0.2x+_=(x+_)².
(1)49,7 (2)100,-10
(3)9/16,3/4 (4)0.01,-0.1
2.用配方法解下列方程:
(1)x²+4x=-3;(2)x²-6x-7=0;
(3)y²=8-2y; (4)t²+8=6t.
3.若关于x的二次三项式x²-kx+16是一个完全平方式,求值.
4.已知实数x,y满足2x²+6xy+9y²-2x+1=0,试求x,y的值。
2x²+6xy+9y²-2x+1=0
(x+3y)²+(x-1)²=0
x+3y=0
x-1=0
x=1
y=-1/3