课程内容
九年级数学上册第4章《一元二次方程》4.1 一元二次方程(第二课时)
第四章《一元二次方程》
4.1 一元二次方程
第二课时
实验与探究
在对本节问题(2)的分析中,我们得到了一元二次方程
x²+(x+7)²=11². ②
你能估计出这个方程的根吗?
(1)要估计出方程②的根,可以先估计出方程根的一个大致范围,结合方程②的实际意义,你能说出合适方程
②的x的一个大致范围吗?
2x²+14x-72=0
x²+7x=36
x(x+7)=36
x+x+7>11
2x>4
2<x<4
(3)怎样才能进一步缩小估计的范围呢?
将方程②化为
x²+7x=36 ④
利用二分法,取2和4的中间值3,分别计算当x=2,3,4时,方程④左边的代数式x²+7x的值,并比较它们的值与方
程④右边36的大小,填写下表:
(4)取2和4的中间值3.5,借助计算机计算当x=3.5时,x²+7x的值,并比较它的值与36的大小关系,填写下表:
(5)取3和3.5的中间值3.3,重复以上过程,填写下表:
这说明,在3.3和3.5之间有方程④的根.
(6)同样地,再取3.3和3.5的中间值3.4,填写下表:
这说明,在3.4和3.5之间有方程④的根,并由此可知这个根的十分位上的数字是4,即
x=3.4...
于是,便求出了方程④的根的精确到0.1的近似值为x≈3.4或x≈3.5
借助计算器继续做下去,可以陆续确定方程④的根的百分位、千分位上的数字,......由于方程④的根就是方程
②的根,这样就能用估计的方法求出方程②的根的精确到0.01,0.001,...的近似值。
(7)如果不考虑方程④的根的实际意义,你会估计方程④还有其他的根吗?与同学交流。
小莹是这样想的:
因为当x的值比较大时,如x≥4时,方程的左边x²+7x>36,所以原方程不可能大于或等于4的根.
当0≤x≤3时,0≤x²+7x≤36,所以原方程在0和3范围内也不可能有根.这就是说,方程④有一个根在3和4之间,
这个问题已在上面得到解决,并且不可能有其他的正根.
当x<0时,x²是正数,7x是负数.当x的绝对值较大时,例如当x=-12时,x²+7x=60>36.所以在-12和0的之间还有
原方程的根,这个根是负根.
小莹的分析正确吗?你能求出原方程在-12和0之间的负根吗?试一试.
练习
2.根据下表中的数据,估计方程x²+2x-10=0在-4.1和-4.6之间的精确到0.1的根的近似值是多少?
3.三个连续整数,它们的平方和等于其中最大整数的10倍。你能求出这三个整数分别是多少吗?
解:设最小整数为x.
x²+(x+1)²+(x+2)²=10(x+2)
3x²-4x-15=10
x=3