九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.4 直线与圆的位置关系（第三课时）

课程内容

第三章《对圆的进一步认识》

3.4 直线与圆的位置关系

第三课时

你能说出切线的判定定理的逆命题吗？这个逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，你能给出证明吗？

已知：如图3-40，直线l与⊙O相切与点A.

求证：OA⊥l.

证明

如图3-40，假设l与半径OA不能垂直，过点O作OB⊥直线l，垂足为点B.在l上取BA=BA，且使B点在A与A´之间，连

接OA´.于是OB垂直平分AA´，OA=OA´.

∵点A是切点，OA是⊙O的半径.

∴OA´也是⊙O的半径.

这就是说，直线l与⊙O有两个公共点，即l与⊙O相交，这与已知条件“直线l与⊙O相切与点A"矛盾，所以OA⊥l.

由此得到

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径.

反证法：

几何语言：

∵直线l为⊙O切线且A为⊙O切点.

∴OA⊥l.

例3

A,B,C是⊙O上的三点，经过点A,点B分别作⊙O的切线，两切线相交于点P，如果∠P=42°，求∠ACB的度数.

解

（1）如图3-41，当C在

上时，连接OA,OB.

∵PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点，

∴∠OAP=∠OBP=90°.

在四边形OAPB中，

∵∠P=42°，

∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P

=360°-90°-90°-42°=138°.

∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×138°=69°.

（2）如图3-42，当C在劣弧

上时，在优弧

上任取一点C´,连接AC´,BC´.

由（1）知，∠AC´B=69°，

在圆内接四边形ACBC´中，

∵∠ACB+∠AC´B=180°.

∴∠ACB=180°-∠AC´B=180°-69°=111°.

练习

1.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，直线BE切⊙O于点B.求证：∠A=∠CBE.

证明：

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°

∴∠CAB+∠CBA=90°

∵直线BE切⊙O于点B.

∴∠ABE=90°

∴∠ABC+∠CBE=90°

∴∠A=∠CBE.

2.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于C，如果∠A=20°，求∠C的度数.

拓展与延伸

11.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A,过点A的切线交PC于点D,CD:DP=1：2，AD=2cm.求⊙O的半径.

此内容正在抓紧时间编辑中，请耐心等待

崔老师

男，中教高级职称

市优秀教师、骨干教师，数学学科带头人。在教学中注重学生自学能力和数学思维能力的培养，教学成绩突出。