课程内容
九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.7 正多边形与圆（第一课时）
第三章《对圆的进一步认识》
3.7 正多边形与圆
第一课时
你还记得什么叫正多边形吗？说出你常见的几种正多边形.
观察与思考
观察图3-58中的正多边形，思考下面的问题：
（1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴.
并说出这些对称轴是怎样的直线.
（2）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗？
（3）通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征？由此你能推出正多边形的什么性质？
（4）利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征？
（5）画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的位置吗？你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征？
（6）由（4）（5）你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征（图3-59）？
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴.
正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点.
如图3-60，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内
切圆的半径叫做正多边形的边心距（apothem）.
可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中
心角，正n边形的每个中心角都等于360°/n.
你能分别说出3-60中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗？
（7）正n变形的n条半径把正n变形分成了几个怎样的图形？相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？
（8）如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径d分别是多少？
例1
一个正六边形花坛的半径为R，求花坛的边长a，周长p和面积S.
解
如图3-61，ABCDEF为正六边形.连接OA,OB,作OG⊥AB,垂足为点G,则OA=OB=R AB=a.
在等腰三角形AOB中，
∵∠GOB=1/2∠AOB=1/2×360°/6=30°，
∴a=2GB=2Rsin30°=R.
∴p=6R.
∵OG=Rcos30°=
,
,∴S=6S△AOB=6×1/2R×=
R².
=R².练习
1.下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例.
（1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线；
（2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形；
（4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形.
2.完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内：
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崔老师
男，中教高级职称
市优秀教师、骨干教师，数学学科带头人。在教学中注重学生自学能力和数学思维能力的培养，教学成绩突出。
