九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.2 确定圆的条件（第二课时）

课程内容

第三章《对圆的进一步认识》

3.2 确定圆的条件

第二课时

实验与探究

我们知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆.思考下面的问题：

（1）如果A,B,C在同一条直线上，经过点A,B,C能作出一个圆吗？试一试.

（2）为什么过同一条直线上的三点不能作圆？怎样证明这个结论呢？与同学交流.

已知：A,B,C是直线l上的三点.

求证：过A,B,C三点不能作圆.

证明

假设过A,B,C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O.

因为OA=OB=OC,所以点O既在线段AB的垂直平分线

上，也在线段BC的垂直平分线

上，因此点O为

与

的交点（图3-19）.这与基本事实“过一点且只

有一条直线与已知直线垂直”矛盾.

这说明过同一条直线上的三点A,B,C可以作圆的假设是不对的，所以过同一条直线上的三点A,B,C不能作圆.

这种证明方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是由已知条件出发直接证明命题的结论.而是先提出与命题

的结论相反的假设，退出矛盾，从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.

用反证法证明一个命题，一般有三个步骤:

（1）否定结论-假设命题的结论不成立；

（2）推出矛盾-从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、

定理等相矛盾的结果；

例1

证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

已知：如图3-20，直线AB//CD,直线EF与AB,CD分别相交于点G,H.

求证：∠1=∠2.

证明

假设∠1≠∠2.

过点G作直线A´B´，使∠EGB´=∠2.根据基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行

”，可得A´B´//CD.这样，过点G就有两条直线AB与A´B´与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直

线平行”矛盾.

这说明∠1≠∠2的假设是不对的，所以∠1=∠2.

例2

证明：平行于同一条直线的两条直线平行.

已知：如图3-21，直线a//c，b//c.

求证：a//b.

证明

假设直线a，b不平行，那么它们相交，设交点为P.

由已知a//c，b//c，这样过点P就有两条直线a，b与直线c平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线

与这条直线平行”矛盾.

这说明a，b不平行的假设是不对的，所以a//b.

练习

用反证法证明下列命题：

1.一个三角形中不能有两个角是钝角.

2.在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等.

2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧

，用尺规确定

的圆心.

3.在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5.求△ABC的外接圆的半径.

4.用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内角不小于60°.

复习与巩固

1.判断下列命题是真命题还是假命题：

（1）经过任意两点可以作无数个圆；

（2）任意一个三角形都有且只有一个外接圆；

（3）任意一个圆都有且只有一个内接三角形.

（4）三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；

（5）三角形的外心到三角形各边的距离相等.

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崔老师

男，中教高级职称

市优秀教师、骨干教师，数学学科带头人。在教学中注重学生自学能力和数学思维能力的培养，教学成绩突出。