九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.1 圆的对称性（第二课时）

课程内容

第三章《对圆的进一步认识》

3.1 圆的对称性

第二课时

观察与思考

任意画一个圆，思考下面的问题：

（1）如图3-1，以圆心O为旋转中心，将这个圆旋转任意一个角度，你有什么发现？特别地，如果将⊙O绕圆心

旋转180°，直径AB的两个端点的位置会发生什么变化？

（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？

圆绕着它的圆心旋转180°，能与原来的图形重合.所以，

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

如图3-9，在⊙O上任取两点A与B，连接OA，OB，得到∠AOB.像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫圆心角（central angle）.

实验与探究

（1）如图3-10，任意画一个⊙O，在⊙O内画圆心角∠AOB=∠A´OB´，连接AB,A´B´.

（2）以点O为旋转中心，将圆心角∠AOB连同

按逆时针方向旋转，旋转角为∠AOA´，则半径OA与OA´重合，这时

OB与OB´重合吗？为什么？

（3）这时，

与

重合吗？弦AB与A´B´重合吗？由此你能得到什么结论？

事实上，由于∠AOA´=∠AOB+∠BOA´,∠BOB´=∠A´OB´+∠BOA´,∠AOB=∠A´OB´,所以，∠AOA´=∠BOB´.由于旋转

后半径OA与OA´重合，于是半径OB与OB´也重合，从而点A与A´重合，点B与B´重合.所以

与

重合，弦AB与A´B´重合，

即，

.这就是说，在同圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.

利用旋转的基本性质还可以得出：在同圆中，如果=，那么∠AOB=∠A´OB´，弦AB=A´B´;反之，如果弦AB=A´B´,

那么∠AOB=∠A´OB´,.

上面的结论在两个等圆中也成立.

这样，就得到下面的定理：

定律

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

例3

如图3-11，AB与DE是⊙O是两条直径，C是⊙O上一点，AC//DE，求证：

（1）

（2）BE=EC.

证明

（1）连接OC.

∵AC//DE,

∴∠AOD=∠OAC,

∠COE=∠OCA.

挑战自我

如图3-12，在⊙O中，，试判断

与2

的大小关系，并说明

与2

理由.

练习

1.下面的说法正确吗？为什么？

如图是两个同心圆，大圆的半径OA,OB,分别交小圆于点A´,B´.因为∠AOB=∠A´OB´,所以

2.如图，AB是⊙O的直径，AC与AD是⊙O的弦，AC=AD,求证：.

3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，

.AC与DB相等吗？为什么？