九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.1 圆的对称性（第一课时）

课程内容

第三章《对圆的进一步认识》

3.1 圆的对称性

第一课时

交流与发现

你还记得什么是圆吗？你学过哪些有关圆的知识？

思考下面的问题，并与同学交流：

（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，栽任意作出一条直径AB(图3-1).将⊙O沿直径AB折叠，

你发现了什么？

（2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？

由此得到

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.

（3）如图3-2，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点E.将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段CE与DE有什

么关系？

与

有什么关系？

与

有什么关系？为什么？

连接OC，OD(图3-3).

因为OC=OD,OE⊥CD,所以CE=DE.

从而可知点C与点D关于直线AB对称.

因为⊙O关于直线AB成轴对称，所以当⊙O沿直线AB折叠时，点C与点D重合，与重合，与重合，所以=，=.

于是，便得到

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

例2

1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥（图3-6）的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为

37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.23m，求桥拱所在圆的半径（精确到0.1m）.

解

设拱桥所在的圆的半径为R（m）.如图3-7，用

表示桥拱，

的圆心为O。经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D，与

交于点C.

∵OC⊥AB,∴D是线段AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高.

∵AB=37.02，CD=7.23，

∴AD=1/2AB=1/2×37.02=18.51，

OD=OC-CD=R-7.23.

在Rt△ODA中，由勾股定理，得OA²=AD²+OD²，

即

R²=18.51²+（R-7.23）².

解这个方程，得R≈27.3.

所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径为27.3m.

挑战自我

如图3-8，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由.

练习

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为点M,求证：∠ACD=∠ADC.

2.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为650mm，油面的宽度AB=600mm.求油的最大深度.