课程内容
九年级数学上册第1章《图形的相似》1.3 相似三角形的性质
第一章 图形的相似
1.3 相似三角形的性质
交流与发现
如图1-23,已知△ABC∽△A´B´C´,相似比为k,AD与A´D´分布是对应边BC与B´C´上的高。
(1)除△ABC∽△A´B´C´以外,图中还有几对相似三角形?为什么?
(2)AD与A´D´的比与相似比k有什么关系?
(3)在△ABC∽△A´B´C´中,分别作出∠A与∠A´的平分线以及BC与B´C´上的中线,探索对应的角平分线
的比,对应边上中线的比分别与相似比k之间的关系,说明你的理由,与同学交流。
(4)△ABC与△A´B´C´的面积的比S△ABC:S△A´B´C´与相似比k有怎样的关系?
(5)归纳(2)(3)(4)的结论,能得到相似三角形的什么性质?
相似三角形对应线段的比等于相似比;面积的比等于相似比的平方。
例1
如图1-24,在△ABC中,DE//BC,AD:DB=3:1,△ABC的面积为48,求△ADE的面积。
解 在△ADE和△ABC中,∠A=∠A,由DE//BC,可知∠ADE=∠B,
根据判定定理1,△ADE∽△ABC.
于是S△ADE/S△ABC=(AD/AB)².
由AD:DB=3:1,得AD=3DB,
所以AD/AB=3DB/ADB=3/4.
因为S△ABC=48,所以S△ADE/48=(3/4)².
解得
S△ADE=9/16×48=27.
例2
如图1-25,有一块锐角三角形余料ABC,它的BC=12cm,高AD=8cm。
现要用它裁出一个正方形工件,使正方形的一边在BC上,其余的两个顶点分别在AB,AC上,求裁出的正方
形工件的边长。
解 在△ABC中,设裁出的正方形为PQMN.
∵PN//BC ∴∠APN=∠B.
∵∠A=∠A,∴△APN∽△ABC.
∴PN/BC=AE/AD(相似三角形的性质定理).
设PN=x,则AE=8-x.
∵BC=12,AD=8,
∴x/12=8-x/8.
解得x=24/5.
挑战自我
(1)在例2中,如果并排放置的由2个全等的小正方形组成的矩形内接于△ABC(图1-26),那么小正方形
的边长为多少?并排放置3个全等的小正方形呢?
1.24/5
2.24/7
3.24/9
...
n. 24/2n+3
练习
1.两个相似三角形对应角平分线的比是1:4,它们对应高的比是______,面积比是______。
2.两个相似三角形对应边的比是2:3,它们面积的和为78cm²,求较大的三角形的面积。