九年级数学下册第29章《投影与视图》29.1 投影（2）（旧版）

课程内容

第29章《投影与视图》29.1 投影（2）

中心投影、平行投影和正投影

图中表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系又什么区别？

图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；

图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；

图（2）中，投影线斜着照射投影面；

图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对这投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面。像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

观察

如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置：

（1）铁丝平行于投影面；

（2）铁丝倾斜于投影面；

（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。

三种情形下铁丝的正投影各是什么现状？

通过观察，我们可以发现：

（1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB____A1B1；

（2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB____A2B2；

（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个____。

观察

如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：

（1）纸板平行于投影面；

（2）纸板倾斜于投影面；

（3）纸板垂直于投影面。

三种情形下纸板的正投影各是什么现状？

通过观察、测量可知：

（1）当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；

（2）当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变化；

（3）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段。

归纳

当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。

人们经常根据上述规律绘制图形。

例：画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影。

（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P。

（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P。

分析：（1）当正方体如图的位置时，正方体的一个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A\'B\'C\'D\'。正方形A\'B\'C\'D\'的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影。因此，正方体的正投影是一个正方形。

（2）当正方体在如图的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A\'B\'C\'D\'和A\'B\'G\'F\'；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D\'F\'和C\'G\'。因此，正方体的投影是矩形F\'G\'C\'D\'，其中线段A\'B\'把矩形一分为二。

解：（1）如图，正方体的正投影为正方形A\'B\'C\'D\'，它与正方体的一个面是全等关系。

（2）如图，正方体的正投影为矩形F\'G\'C\'D\'，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长。矩形上、下两边中点连线A\'B\'是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影。

练习

投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影。