课程内容
第28章《锐角三角函数》28.2 解直角三角形(1)
这样的问题怎么解决
问题:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°。现有一个长6m的梯子,问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)?
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?
问题(1)当梯子与地面所成的角α为75°时,梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度。
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长。
由sinA=BC/AB得
0.97=BC/6
BC≈5.8m
对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的角α的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角α的度数。
由于cosα=AC/AB=2.4/6=0.4
利用计算器求得α≈66°
因此当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角大约是66°
由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的。
探究
在图中的Rt△ABC中,
(1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程。
事实上,在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果再知道两个元素(其中至少有一个是边),这个三角形就可以确定下来,这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素。
在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
,BC=
,解这个直角三角形。
例2 如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(精确到0.1)。
解决有关比萨斜塔倾斜的问题
设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如图),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m。
练习
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形:
(1)a=30,b=20;
(2)∠B=72°,c=14。
归纳总结:
1、解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程。
2、解直角三角形至少要两个条件,而且其中一个条件必须是边。
3、已知两边解直角三角形,可以利用勾股定理先求第三边,然后在利用三角函数求两个锐角。
4、已知一边一角解直角三角形,可以利用互余关系求出另外一个锐角,然后用三角函数或者勾股定理求出其它的边。
5、利用三角函数求边时尽量用乘不用除。