课程内容
《基本初等函数及函数的应用(一)》
真题热身
1. 设a>0 a≠1,则“函数f(x)=a²在R上是减函数”,是“函数g(x)=(2-a)x³在R上是增函数”的(A)
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2. 已知函数f(x)=e|x-a| (a为常数),若f(x)在区间[1,+∞﹚上是增函数,则a的取值范围是(-∞,1]
【解析】根据函数f(x)=e|x-a|=ex-a,,x≥a e-x+a,x<a看出当x≥a时,函数增函数,而已知函数f(x)在区间[1,+∞﹚上是增函数,所以a的取值范围是(-∞,1]
本题主要考查指数函数单调性,复合函数的单调性的判断,分类讨论在求解数学问题中的运用。
3 函数f(x)=㏒5(2x+1)的单调增区间是(-,+∞)
4 已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x²,那么函数y=f(x)的图像与函数y=|㏒x|的图像的交点共有(10 )
【解析】如图,作出图像可知y=f(x)与y=|㏒x|的图像共有10个交点
考点整合
1. 二次函数
2. (1)求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合,特别是含参数的两种类型:“定轴动区间,定区间动轴”的问题,抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个和区间重点,一轴指的是对称轴
(2)注意三个“二次”的相互转化解题
(3)二次方程实根分布问题,抓住四点:“开口方向、判断式⊿、对称轴位置、区间端点函数值正负。”
3. 函数与方程
(1)函数的零点
对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点。
(2)零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(a)*f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0
注意以下两点:
① 满足条件的零点可能不唯一
② 不满足条件时,也可能有零点
3. 函数思想的应
(1) 方程根的分布或根的个数,转化为相应函数零点的分布或个数,对于一元二次方程实根分布的解决思路及方法是:
设二次方程对应的二次函数,然后利用其图形(注意开口的确定)的特征,对判别式、给定区间边界的函数值、对称轴与该区间的关系作全面分析,列出不等式关系,从而解问题。
(2)不等式恒成立问题:a>f(x)恒成立=>a>[f(x)]max;
区别:a>f(x)有解=> a>[f(x)]max
a=f(x)有解=>a∈f(x)的值域
(3)变换主元法:这是函数思想的一个直接应用
(4)证明不等式
要证f(x)>g(x),只需证f(x)-g(x)>0,即证新函数v(x)= f(x)-g(x)的最小值大于0,转化为求函数的最值问题,而这是导数的基本题型
(5)有些比较几个代数式或大小的题目,需要构造对应的函数,利用函数图象或函数的单调性进行比较。
分类突破
一、二次函数的图象与性质
例 1 已知函数f(x)=ax²-|x|+2a-1(a为实常数)
(1)若a=1,作出函数f(x)的图象;
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式
(3)设h(x)= ,若函数h(X)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围。
解 (1)当a=1时,f(x)=x²-|x|+1=x²+x+1,x<0;x²-x+1,x≥0.作图(如下图所示)
(2)当x∈[1,2]时,f(x)=ax²-x+2a-1
若当a=0,则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数
g(a)=f(2)=-3
若a≠1,则f(x)=a(x-)²+2a-
-1
f(x)图象的对称轴是直线x=
当a<0时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3
当0<<1,即a>
时,f(x)在区间[1,2]上是增函数
g(a)=f(1)=3a-2
当1≤≤2,即
≤a≤
时,g(a)=f(
)=2a-
-1
当>2,即0<a<
时,f(x)在f(x)在区间[1,2]上是减函数
g(a)=f(2)=6a-3
综上可得g(a)=6a-3,a<;2a-
-1,
≤a≤
;3a-2,a>
(3)求导。[-,1]
归纳拓展
本题是一道函数的综合问题,涉及函数的图象,函数的最值,恒成立问题,第(2)问中不要忘记对a=0的讨论,同时对于二次函数的含参的最值问题;定区间动轴、动区间定轴,东区间动轴动开口等各类问题的研究方法注意总结,导数是研究函数单调性的常用方法。
变式训练1 设函数f(x)=x²+|2x-a|(x∈R,a为实数)
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)设a>2,求函数f(x)的最小值
解 (1)由已知f(-x)=f(x),
即|2x-a|=|2x+a|,解的a=0
(2)f(x)=x²+2x-a,x≥a;x²-2x+a,x<
a
当x≥a时,f(x)=x²+2x-a=(x+1)²-(a+1)
由a>2,x≥a,得x>1,从而x>-1,故f(x)在x≥
a时单调递增,f(x)的最小值为f(
)=
当x<a时,f(x)= x²-2x+a=(x-1)²+(a-1)
故当1≤x≤a时,f(X)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减
则f(X)的最小值为f(1)=a-1
由-(a-1)=
(a-2)²>0,知f(X)的最小值为a-1.