课程内容

《二项式定理复习课》
（a+b）ⁿ=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
（n∈N）
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做（a+b）n的展开式，其中C^r_n（r=1，2，……，n）叫做二项式系数，C^r_na^n-rb^r叫做二项展开的通项，用T_^r+1表示，该项是指展开的第r+1项，展开式共有n+1个项。
T_^r+1=C^r_na^n-rb^r
系数性质
（1）二项式系数的三个性质：
对称性
增减性与最大值
各二项式系数的和
增减性：当k＜（n+1）/2时，二项式系数是逐渐增大的，
由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的。
最值：当n是偶数时，中间的一项C^n/2_n取得最大值时；
当n是奇数时，中间的两项C^n-1/2_n和C^n+1/2_n相等，且同时取得最大值。
二项式系数之和：2n（由赋值法求得）
各二项式系数的和
在二项式定理中，令a=b=1，则：C⁰_n+¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ
这就是说，（a+b）ⁿ的展开式的各二项式系数的和等于：2ⁿ
另：在（a+b）ⁿ展开式中，奇数项中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二式系数的和。
C⁰_n+C²_n+……=+C¹_n+C³_n=2ⁿ/2=2ⁿ-1
例1 计算并求值
（1）1+2C¹_n+4Cⁿ_n+…+2ⁿCⁿ_n
（2）（x-5）⁵+5（x-1）⁴+10（x-1）³+10（x-1）²+5（x-1）
例题讲解
例2、如果：1+2C¹_n+2²C²_n+…+2ⁿCⁿ_n=2187
求：C¹_n+…+C^r_n+…+Cⁿ_n 的值。
分析：1+2C¹_n+2²C²_n+…+2ⁿCⁿ_n=C⁰_n^.2^0.1ⁿ+C¹_n^.2^.1^n-1+C²_n.2^2.1 n-2+…+Cⁿ_n.2ⁿ.¹⁰=（1+2）ⁿ=3ⁿ
由题意，得3ⁿ=2178=3⁷  于是n=7
C⁰_n+C¹_n+…+C^r_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ
原式=C¹_n+…C^r_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ-1=2⁷-1=127
例3 若n∈N₊，（√2+1）ⁿ=√2a_n+b_n，（a_n，b_n∈Z），则b_n的值（A）
A 一定为奇数        B与n的奇偶性相反
C 一定为偶数        D与n的奇偶性性相同
例4：由（√3x+³√2）¹⁰⁰展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？
分析：考虑（√3x+³√2）¹⁰⁰的展开式的通项
T_r+1=C^r100（√3x）^100-r（3√2）^r
=C^r₁₀₀3^100-r/22^r/3x^100-r=C^r₁₀₀3^50-r/22^r/3x^100-r
要使x系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k ≤100，即r=0，6，12，…，96。因此共有17项。