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《二项式系数的性质》
二项式定理
（a+b）ⁿ=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
（n∈N）
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做（a+b）n的展开式，其中C^r_n（r=1，2，……，n）叫做二项式系数，C^r_na^n-rb^r叫做二项展开的通项，用T_^r+1表示，该项是指展开的第r+1项，展开式共有_n+1个项。
T_^r+1=C^r_na^n-rb^r
1.项数规律：
展开式共有n+1个项
2.系数规律：
C⁰_n,C¹_n,C²_n,C^r_n,……,Cⁿ_n
2.指数规律：
（1）各项的次数圴为n；
（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n。
这个叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。
表中的每一个数等于它肩上的两个数的和。
类似上面的表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释销》算书，且我家北宋数学家贾宪（给公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
二项式系数的函数观点
（a+b）n展开式的二项式系数依次是：C⁰_n,C¹_n,C²_n,C^r_n,……,Cⁿ_n
从函数角度看，C^r_n可看是以r自变量的函数f（r）其定义域是：｛0，1，2，…，n｝
f（r）=C^r_n
定义域｛0，1，2，…n｝
当n=6时，其图象是7个孤立点。
二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
这一性质可直接由公式C^m_n=C^n-m_n得到。
图像的对称轴：r=n/2。
（2）增减性与最大值
由于：C^k_n=｛n（n-1）（n-2）…（n-k+1）｝/{k.（k-1）}
         =C^k-1_n.（n-k+1）/k
所以C^k_n相对于C^k-1_n的增减情况由（n-k+1）/k决定。由（n-r+1）/r﹥1<=>r＜（n+1）/2可得：当r＜（r+1）/2时，
二项式系数逐渐增大，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，中间项的取值最大。
先增后减
n是偶数时，中间的一项（第n/2+1项）的二项式系数C^n/2_n取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项（第（n-1）/2+1、（n+1）/2+1项）的二项系数C^n-1/2_n和C^n+1/2_n 相等，且同时取得最大值。
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a=b=1，则：
C⁰_n+¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ
这就是说，（a+b）ⁿ的展开式的各二项式系数的和等于：2ⁿ
同时由于C⁰_n=1，上式还可以写成：
C⁰_n+C¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ-1
这是组合总数公式。