课程内容

《独立重复试验与二项分布》
复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便。
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）（当A与B互斥时）；
（2）P（B/A）=P（AB）/P（A）
（3）P（AB）=P（A）P（B）（当A与B相互独立的时）
那么求概率还有什么模型呢？
分析下面的试验，它们有什么共同点？
（1）投掷一个骰子投掷5次；
（2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次品
（3）实力相等的甲，乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）；
（4）一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黒球），有放回地依次从中抽取5个球；
（5）生产一种零件，出现次品的概率是0.04，生产这种零件4件。
共同特点是：多次重复地做同一个试验。
基本概念
1、n次独立重复试验：
一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
在n次独立重复试验中，
记A_i是“第i次试验的结果”
显然，P（A₁A₂…A_n）=P（A₁）P（A₂）…P（A_n）
独立重复试验的特点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；
2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
探究
投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为P，则针尖向下的概率为q=1-p。连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？
连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验，用Ai（i=1，2，3）表示第i次掷得针尖向上的事件，用B₁表示“仅出现一次人多针尖向上”的事件，则B₁==（A₁（-，A₂）（-，A₃））U（（-，A₁）A₂（-，A₃））U（（-，A₁）（-，A₃）A₂）。
由于事件A₁（-，A₂）（-，A₃）（-，A₁）A₂（-，A₃）彼此互斥，由概率加法公式得P（B₁）=P（（A₁（-，A₂）（-，A₃）））+P（（-，A₁）A₂（-，A₃））+P（（-，A₁）（-，A₂）A₃）
=q²p+q²p+q²p=3q²p
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q²p。
思考？
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现k（0≤k≤3）次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
P（B₀）=P(（-，A₁）（-，A₂）（-，A₃）)=q³
P（B₁）=P（A₁（-，A₂）（-，A₃）+P（（-，A₁）A₂（-，A₃））+P（-，A₁）（-，A₂）A₃）=q³p,
P（B₃）=P（A₁A₂（-，A₂））+P（（-，A₁）A₂A₃）+P（A₁（-，A₂）A₃）=3qp²
P（B₃）=P（A₁A₂A₃）=P³。
仔细观察上述等式，可以发现
P（B_k）=C^k₃P^kq^3-k，k=0,1,2,3。
基本概念
2、二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为x，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）C^k_nP^k（1-P）^n-k，k=0,1,2,…，n。
此时称随机变量X服从二项分布，记作X-B（n，p）,并称P为成功概率。
注：Pn（k）=C^k_nP^k（1-P）^n-k是（p+q）ⁿ展开式中的第k+1项。