课程内容

《排列组合复习》
复习巩固
    1.分类计数原理（加法原理）
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m₁种不同的的方法，在第2类办法中有m₂种不同的方法，…，在第n类办法中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m₁+m₂+…+m_n种不同的方法。
    2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，…，做第2步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m₁m₂…m_n种不同的方法。
    3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何种方法都可以独立完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每一步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（m≤ｎ）个元素的所有排列的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数。
排列数公式：
A^m_n＝ｎ（ｎ-1）（n-2）…（n-ｍ+1）＝n！/（ｎ-ｍ）！
组合：从ｎ个不同元素中取出ｍ（m≤n）个元素，并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合。
组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数。
组合数公式和两个重要性质
C^m_n＝Ａ^ｍ_ｎ/A^m_n＝n！/ｍ！（ｎ-ｍ）！＝Ｃ^ｎ-ｍ_ｎ
强调：排列——次序性；
　　　组合——无序性。
解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理。
在处理问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径。
解决排列组合性问题的一般过程如下：
1.认真审题弄清要做什么？
2.怎么做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是结合（无序）问题，元素总数多少及取出多少个元素。
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略，以下讲解这些常用策略。
一、特殊元素位置优先策略（优先法）
例1.，由1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位有C¹₃   然后排首位共有C¹₄  最后排其它位置共有A³₄  由分步计数原理得C¹₃C¹₄A³₄=288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
二.相邻元素捆绑策略（捆绑法）
例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排列法。
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有A⁵₅A²₂A²₂=480种不同的排法。
三.不相邻问题插空策略（插空法）
例3：一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有（A55）种，第二步将4个舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位共有种（A46）不同的的方法。由分步计数原理，节目的不同顺序共有（A⁵₅ A⁴₆）种。
元素相同问题先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
四.重排问题求幂策略
例4：把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间有7种法，依此类推，由分步计原理共有7⁶种不同的排法。
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的结束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制的安排在m个位置上的排列数为mⁿ种。
五.多排问题直排策略
例5.8人排成前后排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？
解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有（A²₄）种，再排后4个位置上的特殊元素有（A¹₄）种，其余的5人在5个位置上任意排列有（A⁵₅）种，则共有（A²₄A¹₄A⁵₅）种。
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。