课程内容

《复数代数表形式的四则运算》
一、复习回顾
1、设Z₁=a+bi，Z₂=c+di，则Z₁-Z₂分别等于什么？
Z₁±Z₂=（a±c）+（b±d）i。
2、设Z₁，Z₂为复数，则∣Z₁-Z₂∣的几何意义是什么？
复数Z₁，Z₂对应复平面内的点之间的距离。
二、问题探究
设Z₁=a+bi，Z₂=c+di是任意两个复数
（a+bi）（c+di）=ac+adi+dci+bdi²=（ac-bd）+（bc+ad）i
（1）复数的乘法与多项式的乘法类似，只要在怕得结果中把i²换成-1，然后实部，虚部分别合并。
（2）两个复数的积仍然是一个复数。
（二）复数的乘法运算律
对于任意Z₁，Z₂，Z₃，∈C
（1）Z₁.Z₂=Z₂.Z₁
（2）（Z₁.Z₂）.Z₃=Z₁.（Z₂.Z₃）
（3）Z₁+（Z₂+Z₃）=Z₁Z₂+Z₁Z₃
复数的乘法满足交换律、结合律和对加法的分配。
三、典型例题
例1：计算
（1）（a+bi）（a+bi）   a²+b²
（2）（a+bi）²       （a²+b²）+2abi   
a+bi与a-bi  （三）共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不为零有两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数Z=a+b1的共轭复数记作（-，Z），即（-，Z）a-bi
问题1：一对共轭复数平面内所对应点的位置关系如何？
       关于实轴对称
问题2：若Z=（-，Z）则复数Z具有什么特征？
       Z为实数
问题3：设Z=a+bi （a，b∈R），那么Z+（-，Z）=？Z-（-，Z）=？
（四）复数的除法法则
设复数Z₁=a+bi，  Z₂=c+di （c+di≠0），
求Z₁÷Z₂？
（a+bi）/（c+di）=（a+bi）（a-di）/（c+di）（c-di）=（ac+bd）/（c²+d²）+（bc-ad）/（c²+d²）i
在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母有共轭复数，化简后写成代数形式（分母实数化）
两个复数相除（除数不为0），所得的商一还是一个复数。
【探究】i的指数变化规律
i¹=i，    i²=-1，    i⁴=1
i⁵=     ，i⁶=     ，i⁷=     ，i⁸=     
i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i
【例2】求值：i+i²+i³+……+i²⁰⁰⁶
解：原式=（i+i²+i³+i⁴）+（i⁵+i⁶+i⁷+i⁸）+…+（i²⁰⁰¹+i ²⁰⁰²+i²⁰⁰³+i²⁰⁰⁴）+i²⁰⁰⁵+i²⁰⁰⁶=0+i¹+i²=i-1
例3：设Z=（1+2i）÷（3-4i）×（1+i）²求（-，Z）。
    （-，Z）=-4/5+2/5 i
例4：复数Z满足（1+2i）（-，Z）=4+3i，求Z
     Z=2+i
例5：设复数Z=（√3+mi）/（3+√3i）,若Z为纯虚数，求实数m的值。
     m=-3
例6：已知方程x²-2x+2=0有两虚数根为x₁,x₂，求x₁⁴+x₂⁴的值。
解：∵x_1，2=1±i,
    ∴x₁⁴+x₂⁴=（1+i）+（1+i）⁴=（2i）²+（-2i）²=-8。
课堂小结
1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把i²换成-1，并将实部与虚部分别合并。
2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，分子按乘法法则运算。
3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要求记忆运算分工，对复数式的运算结果，一般要化为代数式。