课程内容

《定积分的简单应用》
一、复习回顾
微积分基本定理
如果f（x）是区间[a,b]上的连续函数，并且f'（x）=f（x）,：则∫^b_a，f（x）dx=F （b）-F（a）或∫^b_af（x）dx=f（x）∣^b_a =F（b）-F（a）
（（F）叫做f（x）的原函数，f（x）就是F（x）的导函数）
微积分基本定理沟通了导数与定积分之间的关系。
利用微积分基本定理求定积分的关键是
确定f（x）的原函数F（x）
（1）平面图形的面积
曲边梯形的面积       
（1）A=∫^b_a f（x）dx       （2）A=∫^b_a [f₂（x）-f₁（x）]dx 
（3）A=∫^b_a f（x）dx       （4）=∫^b_a f₂（x）dx-f₁（x）dx
                               =∫^b_a [f₂（x）-f₁（x）]dx
二、定积分在几何中的应用
例1：计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积。
        y= √x
        =>x=0及x=1 
        y=x²

两曲线的交点（1，0）（1，1）S=S_{曲边梯形OABC}-S_{曲边梯形OABD}
=∫¹₀ √xdx-∫^bax²dx
S=∫¹₀ (√x-x²)dx=2/3x^3/2-x³/3∣¹₀=1/3。
例2：计算由曲线y=√2x,直线y=x-4以及x轴所围成的图形的面积。
解：两曲线的交点

        y=√2x
                   坐标为（8，4）   
        y=x-4
直线与x思交点为（4，0）
S=S₁+S₂=∫⁴₀ √2xdx+∫⁸₄√2xdx-∫⁸₄（x-4）dx
^{=∫4₀ √2xdx+∫8₄√2xdx-∫8₄}（x-4）dx=∫⁸₀ √2xdx-∫⁸₄（x-4）dx
=（2√2）/3 x^3/2∣⁸₀-（1/2 x²-4x）∣⁸₄=40/3
变式：计算由曲线2y=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积。
解：两曲线的交点
        y2=2x   
                 =>（2，-2）（8，4）。
       y=x-4
S=2S₁+S₂=2∫²₀（√2xdx+∫⁸₂（√2x-x+4)dx
=∫²₀2√2xdx+∫⁸₂（√2x-x+4)dx
=（4√2）/3 x^3/2∣²₀+（2√2/3 x^3/2+4x）∣⁸₂=16/3+64/3+26/3=18
三、定积分在物理的应用
1、变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程S等于其速度函数V=V（t）（v（t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分，即S=∫^a_bV(t)dt.
例3：一辆浩气的速度——时间曲线如图1.7-3所示，求汽车在这1mm行驶的路程。
解：由速度——时间曲线可知：V（t）= 
         3t, 0≤t≤10；
          30，10≤t≤40；
         -1.5t+90, 40≤t≤60。
因此汽车在这1min行驶的路程是：
S=∫¹⁰₀3tdt+∫¹⁰₄₀30tdt_+∫⁶⁰₄₀（-1.5t+90)dt
=3/2t2+30t∣¹⁰₀+（-3/4t2+90t）∣⁶⁰₄₀=1350（m）
3、变力做功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着力与F相同的方向移动了S（单位：m），则力F所作的功为W=Fs。
探究  如果物体在变速力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同方向从x=a移动到s=b（a ＜b），那么如何计算变力F（x）所作的功呢？
与求曲边梯形的面积和，求变速运动直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题可以得到W=∫^b_aF（x）dx。
例4：如图1.7-4，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置Lm处，求弹簧力所作的功。
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧拉伸（或压缩）的长度x（单位：m）成正比，即F（x）=kx，其中常数k是比例系数。
由变力作功公式，得W=∫^b_akxdx=1/2kx²∣^L₀=1/2kL²（J）