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    高中数学第一章1.6《微积分基本定理(2)》(选修2-2)

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    课程内容

    《微积分定理(2)》
    一、复习
    (1)定积分的基本性质
    性质1:∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx
    性质2:∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫ba(x)dx
    复习:(2)(微积分基本定理)
    如果f(x)在区间[a,b]上的连续函数,并且F(x)=f(x),则∫baf(x)dx=F(b)-F(a)。
    记:F(b)-F(a)=F(x))∣b
    a
    即:∫baf(x)dx=F(x))∣
    ba
    =F(b)-F(a)
    复习(3)基本初等函数的导数公式
    1.若f(x)=c,则f'(x)=0
    2.若f(x)=xn,则f’(x)=nxn-1(n∈R)
    3.若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx
    4.若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx
    5.若f(x)=ax,则f'(x)=axlna
    6.若f(x)=ex,则f'(x)=e
    x
    7.若f(x)=longax,则f'(x)=1/xlna
    7.若f(x)=lnx,则f'(x)=1/x。
    二、常用积分公式
    (1)∫baxndx=1/(n+1)x n+1ba(n≠-1)
    (2)∫ba1/xdx=ln∣x∣∣b
    a
    (3)
    baexdx=exb
    a
    (4)∫ba
    axdx=1/(lna)axb
    a
    (5)
    ba sin xdx=-cos x∣b
    a
    (6)∫bcos xdx=-sin x∣b
    a
    三、应用:
    例1(1)求∫-1 -2 -dx。
    解:当x<0时,1/x的一个原函数是ln(-x)(x<0),
    -1 -2 -dx=[ln(-x)]∣-1 -2 =ln1-ln2=-ln2.
    (2)求∫n/2 0(2cosx+sinx-1)dx.
    解:原式=(2sinx-cosx-x)∣n/2 0=3-π/2.
    例2.计算定积分
    31 (3x2-1/x2)dx
    解:∵(x3)'=3x2,(1/x)'=-1/x
    2
    原式:∫313x2dx∫311/x2dx=∫313x2+∫31(-1/x2)dx
    =x331+1/x∣31=(33-13)+(1/3-1/1)=76/3
    例3 设f(x)=

            2x 0≤x≤1

                        ,求:∫20 f(x)dx

           5 1≤x≤2

    解 ∫10f(x)dx+∫21f(x)dx
    =x210+5x∣21=1-0+10-5
    =6。

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