课程内容

《微积分基本定理（1）》
一、探究
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f（x）=x3非常简单，但直接用积分的定义计算，∫^b_ax³dx的值却比较麻烦，对于有些宣∫^b_a1/xdx,几乎不可能直接用定义计算，那么，有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念，——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？
请你尝试利用定积分定义计算+∫²₁（1/xdx
我们先来探究一下导数和定积分的联系。（x）dx+∫^b_a（x）dx
探究 如图1.6-1、一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s（t）由导数的概念可知，它在任意时刻的速度V（t）=s(t)设这个物体在时间段[a、b]内的位移为S，你能分别用s(t)，v(t)表示S吗？
显然，物体的位移S是函数S=S（t）在t=b处与t=a外的函数值之差，即S=s（b）-s（a）。①
另一方面，我们还可以利用定积分，由v（t）g来求位移S用分点a=t₀＜t₁……＜t_i-1＜t_i……t_n=b将区间[a,b]等分成n个小区间；
[t₀，t₁]，[t₁，t₂],……[t_i-1],……[t_n-1,t_n],
每个小区间的长度均为Δt=t_i-t_i-1=(b-a)/n.
当Δt很小时，在[t_i-1,t_t]上，v（t）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v（t_i-1）作匀速运动，物体所作的位移Δs≈h₁=v(t_i-1)Δt=t_i-1Δs=(b-a)/ns'（t_i-1）②
从几何意义上看，（图1.6-2），设曲线s=s(t)上与t_i-1对应的点为P、PD是P点处的切线，由s（t_i）导数的几何意义知，切线PD的斜率等于s（t_i-1）于是Δs_i≈h_i=tan＜DPC.Δt=S（t_i-1）.Δt。
结合图1.6-1，可得物体总位移S=（nΣi=1）Δsi≈（nΣi=1）hi=（nΣi=1）v（t_i-1）Δt=（nΣi=1）s'（t_i-1）Δt。
显然，n越大，即Δt越小，区间[a，b]的分划就越细，
（nΣi=1）V（t_i-1）Δt=（nΣi=1）s（t_i-1）Δt与S的近似程度就越好。
由定积分的定义有S=lim_nà∞（nΣi=1）(b-a)/nV（t_i-1）=∫^b_aV（t）dt=∫^b_as'（t）dt。
结合①有S=∫^b_aV（t）dt=∫^b_as'（t）dt=s（b）-s（a）。
上式表明，如果作变速直线运动的物体的运动规律是s=s（t）,那么V（t）=s（t）在区间[a，b]上的定积分就是物体的位移s（b）-s(a)。
二、定义
一般地如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数并且f（x）=f(x)，那么∫^b_a (x)dx=F（b）-F(a)，这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫做牛顿——莱布呢兹公式，（Newton—Leibniz Formula).
为了方便，我们常常把F（b）-F（a）记成F(x)∣^b_a ；即∫^b_af（x）dx=F(x)∣^b_a=F（b）-F（a）。
微积分基本定理表明，计算定积分∫^b_a f(x)dx的关键是找到满足F（x）=f（x）的函数F（x），通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算计则从反方向求F（x）。