课程内容

《定积分的概念》
一、复习引入
从曲边梯形的面积及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“四步曲”；分割、近似代替，求和、取极限得到解决，且都可以归纳为求一个特定形式和的极限：
曲边梯形的面积
S=lim_(Δx-0)（nΣi=1）F（ζ_t）Δx=lim_(Δx-0)（nΣi=1）F（ζ_t）；
变速运动的路程
S=lim_(Δx-0)（nΣi=1）V（ζ_i）Δx=lim_(Δx-∞)（nΣi=1）1/nV（ζ_i）；
二、定积分的定义
事实上，许多问题都可以归纳结为求这种特定形式和的极限。一般地，我们有
如果函数在f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a=x₀＜x₁…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[x_i-1,x_i]上任意取一点ζi（i=1，2，……n）,作和式（nΣi=1）f（ζ_i）Δx=（nΣi=1）（b-a）/nf（ζ_i），当nà∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分（definite int egral）,记作
∫¹₀f（x）dx，即∫¹₀x²dx=1/3。
同样地，1.5.2中汽车在0≤t≤1这段时间内经过的路程S=∫¹₀V（t）dt=∫¹₀（-t²+2）dt=5/3.
定积分的定义：∫¹₀f（x）dx=lim_(Δx-∞)（nΣi=1）(b-a)/nf（ζ_i）；
定积分的相关名称：
∫——叫做积分号，
f（x）——叫做被积分函数，
f（x）dx——叫做被积表达式，
x——叫做积分变量，
a——叫做积分下限，
b——叫做积分下限，
[a,b]——叫做积分区间。 
按定积分的定义，有
（1）由连续曲线y=f（x）（f（x）≥），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为
S=∫¹₀f（x）dx；
（2）设物体运动的速度V=V（t），则此物体在区间[a,b]内运动的距离S为
s=∫¹₀V（t）dt。
说明：
（1）定积分是一个数值，
它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即
∫^b_af（x）dx=-∫^b_af（x）dx
三、定积分的刚体意义：
当f（x）≥时，积分∫^b_af（x）dx在几何上表示由y=f（x）、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。
特别地，当a=b时，有∫^b_af（x）dx=0。
当f（x）≤0时，由y=f（x）、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分∫^b_af（x）dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值。
S=[∫^b_af（x）]dx
=-∫^b_af（x）dx
∫^b_af（x）dx=-S
四、定积分的基本性质
性质1。
∫^b_akf（x）dx=k∫^b_af（x）dx
性质2。
∫^b_a[f（x）±g（x）]dx=∫^b_af（x）dx±∫^b_a（x）dx
性质3.定积分关于积分区间具有可加性
∫^b_af（x）dx=∫^b_af（x）dx+∫^b_a（x）dx
∫^b_af（x）dx=∫^b_af（x）dx+∫^b_af（x）dx+∫^b_af（x）dx