小结：求由连续曲线y=f（x）对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割   （2）近似代替   （3）求和   （4）取极限
把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。
有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。
[点评]（1）分割的目的在于更精确地“以直代曲”。上例中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当n愈大时，所有小矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积。
（2）在“近似代替”中，教材在每一个小区间[（i-1/n，i/n）]上取左端，事实上可以用取右端点或区间上的任意点，前面我们已经验证了取右端点时的情形。
（3）求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替，求和，取极限的方法。
二、求汽车行驶的路程

上图中：所有粘矩形之和，其极限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=t2+2所围成的曲边梯形的面积，即路程S
与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题。化归为求匀速直线运动的路问题，即将区间[0，1]等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v（t）变化很小，可以认为汽车近似于作匀速直线运动，从而求和得的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到S的精确值。
解：1.分割
在时间区间[0，1]上等间隔地插入n-1个点，将区间[0，1]等分成n个区间：
[0,1/n],[1/n，2/n]，…，[（n-1）/n，1]记第i个区间为[（i-1）/n，i/n]（i=1，2,…，n）,其长度为△t=i/n-(i-1)/n
把汽车在时间段[0,1/n],[1/n，2/n],…，[(n-1)/n，1]上行驶路程分别记作：△S1，△S2，…，△Sn
显然，S=（nΣi=1）△Si
（2）近似代替 当n很大，△t很小时，在区间[（i-1）/n，i/n]上，可以认为函数v（t）=-t2+2的值变化很小，近似等于一个常数，不妨认为它近似等于左端点（i-1）/n处的函数值v（i-1/n）=-（(i-1)/n）+2，从物理意义上看，即使汽车在时间段[（i-1）/n，i/n](i=1，2，……，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻（i-1）/n处的速度v（i-1）/n=-((i-1)/n)2+2作匀速直线运动。
即汽车在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积△S'近似代替△St，则有
△Si≈△St''=v（（i-1）/n）².1/n+2/n(i=1,2…，n)①
（3）求和，由①得
Sn=（nΣi=1）△St'=（nΣi=1）v{(i-1)/n}△t
=（nΣi=1)[-((i-1)/n²).1/n+2/n]
=0.1/n-(1/n)².1/n-…-（（n-1）/n）².1/n+2
=-1/n³ [1²+2²+…+（n-1）²]+2
=-1/n³{(n-1)n(2n-1)/6}+2=-1/3(1-1/n)(1-2n)+2
从而得到S的近似值S≈Sn=-1/3(1-1/n)(1-1/n)+2
（4）取极限
当n趋向于无穷大时，即△t趋向于0时，Sn=-1/3（1-1/n）(1-1/2n)+2趋向于S，
从而有S=LimSn n→∞
      =LimSn n→∞[-1/3(1-1/n)(1-1/2n)+2]=5/3
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线t=0，t=1，V=0和曲线v=-t²+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述解过程可知，汽车行驶的路程S=LimSn n→∞ 在数据上等于由直线t=0，t=1,v=0和曲线v=-t²+2所围成的曲边梯形的面积。
结论：一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v（r）那么我们也可以采用分割、近似代替，求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S。