课程内容

《距离的向量计算方法》

1、距离的定义

一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这这个平面的距离。
当直线与平面平行时，直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。
当两平面平行，一个平面图上任一点到另一个平面的距离，叫做两个平行平面的距离。
2、点到平面距离的向量计算公式
如图A∈α，空间一点P平面α的距离为d，已知平面α的一个向量为(→，n)，且(→，)不共线，能否用(→，AB)与(→，n)表示d？
分析：过P作PO⊥α于O，连接AO。
则d=∣(→，OP)∣=∣(→，PA)∣.cos∠APO。
∵(→，PO)⊥α，(→，n)⊥α，∴(→，PO)∥(→，n)。
∴cos∠APO=∣cos<(→，PA)，(→，n)>∣。
∴d=∣(→，PA)∣∣cos<(→PA)，(→，n)>∣=∣(→，PA)∣.∣cos(→，PA)，(→，n)∣/(→，n)=∣(→，PA).(→，n)∣/∣(→，)∣
点B到平面α的距离：d=∣(→，AB).(→，n)∣/∣(→，n)∣
(→，n) 是平面α的法向量
这个结论说明，平面外一点到平面的距等于连续此点与平面上的任一点（常选择地一个特殊点）的向量在平面的法向量上班射影的绝对值。
3、点到平面的距离的向量计算示例
例1，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直平面ABCD，GC=2，求点到B到平面EFG距离。
解：如图建立空间坐标系
则E（2，0，0），F（4，2，0），G（0，4，2）(→，FB)=（0，2，0）(→，GF)=（4，-2，-2）(→，GE)=（2，-4，-2）
设平面的法向量(→，n)=（x，y，z）
则(→，GE).(→，n)=0，(→，GF).(→，n)=0
∴2x-4y-2z=0
4x-2y-2z=0
∴(→，n)=（1，-1，3）
∵(→，FB)=（0，2，0）
∴ d=∣(→，FB).(→，n)∣/∣(→，n)∣=2√11/11
4、两异面直线的距离定义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段叫做公垂线段。
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离，异面直线a，b之间的距离：
d=AA1=(→，AC).(→，n)/(→，n)
5、两异面直线距离的向量计算公式示例
例3，已知正方体AC1的棱长为a，求B1C与BD间的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，则B（a，a，0），（0，a，0），B（a，a，a），D（0，0，0）
所以(→，DB)=（a，a，0），(→，CB)=（a，0，a）
设公垂向量为(→，n)=（x，y，z）
即  (→，n).(→，DB)=ax+ay=0 =>(→，n)=（-1，1，1） 
(→，n).(→，CB)=ax+az=0  
∴d=∣(→，CB).(→，n)∣/∣(→，n)∣=∣（a，0，0）∣.（-1，1，1）/√=x√3/3a
小结
异面直线距离的求解法：
①求出两条异面直线的公垂向量。
②给出连接两条异面直线的一个向量。
点到面、线到面、面到面距离的求解法：
①求出平面的一个法向量
②给出连接点与面的一个向量。