课程内容

《角的向量计算方法》
回顾异面直线所成夹角的计算步骤
如图，在正方形ABCD—A'B'C'D'中，B1E1=D1F1=A1B1/4=1
求BE1与BF1所成的角的余弦值。
(→，E1B)=（4，4，0）-（4，3，4）=（0，1，-4），
(→，DF1)=（0，2，2）-（0，0，0）=（0，1，4),
(→，BE1).(→，DF1)=0×0+1×1+（-4）×4=-15
∣(→，BE1)∣√17，∣(→，DF1)∣=√17.
cos＜<(→，BE1),(→，DF1)>﹥(→，BE1).(→，DF1)/∣(→，BE1)∣.∣(→，BF1)∣=-15/√17×√17=-15/17
1.1直线和平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个面所成的角。
∠AOB（记为θ）是a与α所成的角
规定：直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面平行或平面内，θ＝0°
斜线和平面成角0°＜θ＜0°
直线和平面成角0°≤θ≤90°
1.2直线和平面的所成的角的向量计算公式
AO是平面α的斜线，A是人斜足，OB垂直于α，B为垂足，则直线AB是斜线OA在平面α的射影，(→，N)⊥α，(→，N)称为平面α的一个法向量。
sinθ1=cos（90°-θ1）
=∣cos<(→，OA,)(→，N)>∣=∣(→，OA,).(→，N)∣/∣(→，OA,)∣∣(→，N)∣
即sinθ1=∣(→，OA,).(→，N)∣/∣(→，OA,)∣∣(→，N)∣
1.3直线和平面所成的角的向量计算示例
例1，在正方体AC1中，E是CD的中点，求AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值。
解：如图在玉体AC1中建立空间直角坐标系，不妨设正方体AC1的村长为2，则E（0，——0）A1（2，0，2）
∴(→，EA1)＝（2，1，2）
易知，平面BCC1B1的一个法向量为(→，n)=(→，aCD)=（0，-2，0）
设A1E与平面BCC1B1所成的角为θ
sinθ1=∣(→，EA1).(→，n)∣/∣(→，EA1)∣∣(→，n)∣=1/3
2.1、二面角及二面角的平面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个平面叫做二面角的面。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两个射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2.2、二面的向量计算公式
(→，m)是平面α的一个法向量，(→，n）是平面β的一个法向量，二面角的大小与两法向量所成角相角相等或互补。
锐二面角θ：cosθ=∣cos<(→，m)，(→，n)>∣
=∣(→，m).(→，n)∣/∣(→，m)∣∣(→，n)∣
对于钝二面角的计算其余弦值必为负。
当然若能直接得到二面的平面角两边应的向量更好。
例2。如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正文形，侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点，设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值。
解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz。
由于底面ABCD为正方形，SD=2DC，不妨设A（2，0，0）则
B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），E（2，1，0），F（0，1，2）
∴(→，DE）=（2，1，0），(→，EF）=（-2，0，2），(→，AE）=（0，1，2）
设(→，n）=（x，y,z）为平面DEF的法向量。
则2x+y=0，-2x+2z=0=>(→，n)=（1，-2，1）
设(→，m)=（t,u,v）为平面AEF的法向量。
则u=0，-2t+2v=0=>(→，m)=（1，0，1）
∴∣cos<(→，n)，(→，m)>∣=∣(→，n).(→，m)∣/∣(→，n)∣∣(→，m)∣=√3/3