课程内容

《空间向量的数量积运算》

学习目标 

1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

重点：两个向量的数量积的计算及其应用。

难点：两个向量数量积的几何意义。

知识要点

（1）两个向量的夹角的意义

如图，已知两个非零向量(→，a)，(→，b)在空间任取一点O，作(→，A)=(→，a)，(→，OB)=(→，b)，则角∠AOB叫做向量(→，a)与(→，b)的夹角，记叙：<(→，a)，(→，b)>

范围：0≤<(→，a)，(→，b)>≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且<(→，a)，(→，b)>=<(→，b)，(→，a)>

如果<(→，a)，(→，b)>=π/2，则称(→，a)与(→，b)互相垂直，并记作：(→，a)⊥(→，b)

（2）两个向量的数量积

设(→，OA)=(→，a)，则有向线段(→，OA)的长度叫做向量(→，a)的长度或模记作：∣(→，a)∣

已知空间两个非零向量(→，a)，(→，b)则∣(→，a)∣∣(→，b)∣cos<(→，a)，(→，b)>叫做向量(→，a)，(→，b)的数量积，记作：(→，a).(→，b)即

(→，a).(→，b)=∣(→，a)∣∣(→，b)∣cos<(→，a)，(→，b)>

规定，零向量与任何向量的数量积为0，即0.a=0。特别地a.a=∣a∣∣a∣cos=∣a∣2。

理解

a，b是两个非零向量，现给出以下命题：

①a.b﹥0<=>∈｛0，π/2）；

②a.b﹥0<=>=π/2

③a.b﹥0<=>∈（π/2，π｝；

④∣a.b∣=∣a∣∣b∣<=>=π

其两个正确的命题有

A.1个   B.2个    C.3个   D.4个

（3）射影

已知向量(→，AB)=(→，a)和轴L(→，e)是L上与L同方向的单位向量。作点A在L上的射影A1，作点B在L上的射影B1，则(→，A1B1)叫做向量在轴L上的或在(→，e)方向上的正射影，简称射影。

A1B1=∣(→，AB)∣cos<(→，a)(→，e)>=(→，a).(→，e)

注意：(→，AB)是轴L上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量(→，AB)与L的方向的相对关系，大小代表在L上射影的长度。

（4）空间向量的数量积性质

对于非零向量(→，a)，(→，b)，有：

（1）(→，a).(→，e)=∣(→，a)∣cos<(→，a)，(→，e)>

（2）(→，a)⊥(→，b)<=>(→，a).(→，b)=0

（3）∣(→，a）∣=(→，a).(→，a)

（5）空间向量的数量积满足的运算律

（1）（λ(→，a)）.(→，ｂ)＝λ｛(→，a).(→，ｂ)｝

（2）｛(→，a).(→，ｂ)｝＝｛(→，ｂ).(→，ａ)｝（交换律）

（3）(→，a).｛(→，ｂ)+(→，ｃ)｝＝(→，a).(→，ｂ)+(→，a).(→，ｃ)（分配律）

小结

1、两个向量的夹角

2、两个向量的数量积

3、空间向量数量积的运算律。