课程内容

《全称量词与存在量词》
思考？
下列语句是命题吗？（1）与（3）之间，（2）（4）之间有什么关系？
（1）x﹥3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的x∈R,x﹥3；
（4）对任意一个x∈z，2x+1是整数。
短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做倒全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
常见的全称量词还有：
“对所有的”“对任意一个”，“对一切”，“对每一个”，“任给”，“所有的”等。
通常，将含有变量x的语句用p(x)，q（x）r（x）表示，就是的取值范围用M表示。
符号
全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，(x)
读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。
例1判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数；
（2）∀x∈R，x²+1≥1；
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
存在量词
思考？
下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
（1）2x+1=3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个x∈R，使2x+1=3；
（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除。
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“对某个”等。
例如，命题：
有的平行四边形是菱形；
有一个素数不是奇数；
有的向量方向不定；
存在一个函数，既是偶数又是奇数；
有一些实数不能取对数。
特称命题“存在M中的一个x，使P（x）成立”可用符号记为 ∃x∈M，P（x） 读作“存在一个x，使P（x）成立”。
例2 判断下列特称命题的真假
有一个实数x₀，使x₀²+2x₀+3=0。
存在两个相交平面垂直于同一条直线；
有些整数只有两个正因数。
含有一个量词的命题的否定
如何区分命题的否定与否命题？
区别：
①、概念：命题的否定琖是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题。
②、构成：对于“若P，则q”形式的命题，其否定命题为“若P,则┒q”也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若非P，则非q”,也就是条件和结论都否定。
③，真值：否定命题的真值与原命题的相反；而否命题的真值与原命题无关。
探究
写出下列命题的否定
1）所有的矩形都是平行四边形；∀x∈M，P(x)
2）每一个素数过都是奇数；    ∀x∈M，P(x) 
3）∀x∈R,x²-2x+1≥0         ∀x∈M，P(x)
否定：
1）所有的矩形都是平行四边形；∃x∈M，┒P（x）
2）每一个素数过都是奇数；    ∃x∈M，┒P（x）  
3）∀x∈R,x2-2x+1≥0         ∃x∈M，┒P（x）
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从命题形式上牛耕，这三个命题全称的否定都成了特称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：∀x∈M，P(x)  它的否定┒P：∃x∈M，┒P（x）
例3 写出下列全称命题的否定：
（1）P：所有能被3整除的整数教师奇数；
（2）P：第一个四边形的四个顶点共圆；
（3）P：对任意x_∈Z,x²的个位数字不等于3。
探究
写出下列命题的否定
1）有些实数的绝对值是正数；∃x∈M，P（x）
2）某些平行四边形是菱形；  ∃x∈M，P（x）
3）∃xR，x²+1<0            ∃x∈M，P（x）
否定
1）有些实数的绝对值是正数；∀x∈M，┒P(x)
2）某些平行四边形是菱形；  ∀x∈M，┒P(x) 
3）∃xR，x2+1<0            ∀x∈M，┒P(x)
这些命题和它们的否定形式上有什么变化？
从命题琖上看，这三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题P：∃x∈M，P（x）  它的否定┒P：∀x∈M，┒P(x)
特称命题的否定是全称命题。
例4 写出下列特称命题的否定
（1）P：∃x∈R，x²+2x+2≤0；
（2）有的三角开是等边三角形；
（3）有一个素数含三个正因数。