课程内容
《函数的最大（小）值与导数》
一、复习与引入
1.池函数f（x）在x0处连续时，判别f（x）是极大（小）值的方法是：
①如果在x0附近的左侧f（x）﹥0右侧f（x）＜0，那么，f（x0）是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′（x）﹥0右侧f（x）﹥0，那么，f（x0）是极小值；
2.对于可导函数而言，导函数为零的点中该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。可导函数的极值只能在函数导数为零的点取得。
3.在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小，而还是极值。
二、用课——函数的最值
观察右边一个定义在区间[a，b]上的函数y=f（x）的图象。发现图中f（x1）、f（x3）是极小值，f（x2）是极大值，在区间上的函数的最大值是f（b），最小值是f（x3）。
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f（x3）是最小值，而f（b）是最大值呢？
导数的应用——求函数最值
求可导函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的步骤：
（1）求f(x)在区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）
（2）将y=f（x）的积极值与f（a）、f（b）（端点处）比较，其中最大的一个最大值，最小的一个为最小值。
求函数的最值时，应注意以下点：
（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对某个区间或整个定义域而言。
（2）闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值，开区间（a，b）内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值就是函数的最值。
（3）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值不一定就是最大值，极小值不一定就是最小值。
例1、求函数f（x）=x2-4x+6在区间[1,5]内的极值与最值
法二、解、f′（x）=2x-4
令f′（x）=0，即2x-4=0，得x=2
| x | 1 | （1，2） | 2 | （2，5） | 5 |
| y′ | - | 0 | + | ||
| y | 3 | ↘ | 2 | ↗ | 11 |
故函数f（x）在区间[1，5]内的极小值为2，最大值为11，最小值为2。
例2：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值。
解：y′=4x-4x, 令y′=0，解得x=-1，0，1。
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
| x | -2 | （-2，-1） | -1 | （-0，1） | 0 | （0，1） | 1 | （1、2） | 2 |
| y′ | - | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | 13 | ↘ | 4 | ↗ | 5 | ↘ | 4 | ↗ | 13 |
从上表可知，最大值是13，最小值是4。
例3：函数f（x）=x3+3x2-9x在[-4，4]上的最大什为 ，最小值为 。
分析：（1）由f′（x）=3x2+6x-9=0，得x1=-3，x2=1
当x变化时，f′（x）f（x）的变化情况如下表：
| x | -4 | （-4，-3） | -3 | （-3，1） | 1 | （1，4） | 4 |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | 20 | 增 | 27 | 减 | -5 | 增 | 76 |
可知函数在[-4，4]上最大值为f（4）=76。
例4：已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离
分析：点P到直线距离最小时，抛物线在点P处地切线斜率为-1，即函数在点P处的导数是-1，令P（a，b），于是有：2a=-1所以P（-1/2，1/4）准线方程为y=-1/4,故点P到准线的距离为1/2
五、小结
1、求可导数f（x）在[a，b]上的最值的步骤：
（1）求f（x）在[a，b]内的极值；
（2）将f（x）有各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个最小值。
2.求函数的最值时，应注意以下几点：
（1）要正确区分极值与最值这两个概念。
（2）在[a，b]上连续，（a，b）上可导的函数f（x）在（a，b）内未必有最大值与最小值，但在[a，b]上必有最大与最小值。
六、课后作业
1）课本第32页A组（6）
2）已知函数f（x）=x2-2（m-1）x+4在区间[1，5]内的最小值为2，求m的值。
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杨老师
女，中教高级职称
教学功底扎实，教学经验丰富，对知识体系有深厚的了解。
