课程内容

《函数的极值与导数》
（一）复习
一般地，函数y=f（x）在某个区间（a，b）内
1）如果恒有f′（x）﹥0，那么y=f（x）在这个区间（a，b）内单调递增；
2）如果恒有f′（x）＜0，那么y=f（x）在这个区间（a，b）内单调递减；
f′（x）﹥0   增函数
f′（x）＜0   减函数
判定函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法
（二）探究、
如图，函数y=f（x）在a、b、c、d、e、f、g、h、i等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系，y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？

（三）：讲授新课 a）函数极值的定义
1）函数y=f（x）在x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其它各点的函数都小，我们就说f（a）是函数的一个极小值，点a叫做极小值点。
2）函数y=f（x）在x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其它各点的函数值都大，我们就说f（b）是函数的一个极大值，点b叫做极大值点。
3）极大值点，极小值点统称为极值点，
4）极大值与极小值统称为极值。
注：函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值。
即：极大值不一定等于最大值；极小值不一定等于最小值。
 b)求函数的极值
1）如果b是f′（x）=0的一个根，并且在b的左侧附近f′（x）﹥0，在右侧f′（x）＜0，那么f（b）是函数f（x)的一个极大值。
2）如果a是f′（x）=0的一个根，并且在a的左侧附近f′（x）＜0,在a右侧附近f′（x）﹥0，那么f（a）是函数f（x）的一个极小值。

C）注意：
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可以能有多个极大值或极小值。
（2）极大值不一定比极小值大，
（3）要区分极值与极值点；
（4）导数等于零的点不一定是极值点。
例：y=x³
d）求函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f′（x）=0的根
（3）用方程f′（x）=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f′（x）在方程f′(x)=0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况。
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
e）例题讲解
例1：下图是导函数y=f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数y=f′(x)有极大值？
  x=x₂
（2）导函数y=f′(x)有极小值？
x=x₁或x=x₄ 
（3）函数y=f(x)有极大值？
  x=x₂ 
（4）函数y=f(x)有极小值？
  x=x₅ 
例2：求函数f（x）1/3x³-4x+4的极值
解：
因为f（x）=1/3x³-4x+4，所以f′（x）=x²-4
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2。
当f′（x）﹥0，即x﹥2，或x＜-2；
当f′（x）＜0，即-2＜x＜2。
当x变化时，f（x）的变化情况如下表：

所以，当x=-2时，f（x）有极大值28/3；
      当x=2时，f（x）有极小值-4/3。
例3：求下列函数的极值：
（1）f（x）=6x²-x-2； （2）f（x）=x³-27x，
解：
（1）f′（x）=12x-1，令f′（x）=0，解得x=1/12，列表：

所以，当x=1/12时，f（x）有极小值f（1/12）=-49/24。
解：
（2）令f′（x）=3x²-27=0，解得x₁=3，x₂=-3列表：