课程内容

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
一、复习：基本初等函数的导数公式
公式1、若f（x）=c，则f′(x)=0；
公式2、若f（x）=xⁿ，则f′(x)=nx^n-1；
公式3、若f（x）=sinx，则f′(x)=cosx；
公式4、若f（x）=cosx，则f′(x)=sins；
公式5、若f（x）=a^x，则f′(x)=a^xIn a(a﹥0)；
公式6、若f（x）=e^x，则f′(x)=e^x
公式7、若f（x）=log_a，则f′(x)=1/xIna(a﹥0，且a≠0)；
公式8、若f（x）=Inx，则f′(x)=1/x；
导数的运算法则
法则1：两个函数的和（差），等于这两个函数的导数的和（差），即：
｛f（x）±g（x）｝′=f′（x）±g′（x）
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：
｛f（x）·g（x）｝′=f′（x）g（x）+f(x)g′(x)
特别的:{kf(x)}′=kf′(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方,即:
{f(x)/g(x)}′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)/{g(x)}²(g(x)≠0)
二、应用
例1：根据基本初等函数的导数分工和导数运算法则，求函数y=x³-2+3的导数
解：因为y′=（x³-2x+3）′=（x³）-(2x)′+（3）′=3x²-2
例2：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率5%，物价P（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系
  P（t）=P_o(1+5%)′
其中P_o为t=0时的物价，假定某种商品的P_o=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式，有
  P′（t）=1.05^tIn1.05
  ∴P′（10）=1.05¹⁰In1.05≈0.08（元、年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元、年的速度上涨。
例3：日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净的提高，所需净化费用不断的增加，已知将水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c（x）=5284/(100-x) (80＜x＜100)
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时京华率：
（1）90%   （2）98%
解：净化费用的瞬间变化率就是净化费用函数的导数
c′（x）=（5284/100-x）′={5284′×（100-x）-5284×（100-x）′}/（100-x）²
=｛0×（100-x）-5284×（-1）｝/（100-x）²
=5284/(100-x)²
（1）因为c′（90）=5284/（100-90）²=52.84
所以，纯净度为90%时，费用的瞬间变化率是52.84元/吨。
（2）因为c′（98）=5284/（100-98）²=1321
所以，纯净度为98%时，费用的瞬间变化率是1321元/吨。
三、如何求下列函数的导数？
1、y=In（2x+1）
2、y=（cos2x+1）²
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记作y=f（g（x））。
复合函数y=f（g（x））的导数和函数
y=f（u），u=g（x）的导数间的关系为y_x′=y_u′·u_x′
例4：求下列函数的层数
（1）y=（2x+3）²
解：（1）函数y=（2x+3）²可以看作函数y=u²和u=2x+3的复合函数，根据复合函数求导法则有
y_x′=y_u′·u_x′
=（u²）′·（2x+3）′
=4u
=8x+12
（2）y=e^-0.05x+1
解：（1）函数y=e^-0.05x+1可以看作函数y=e^u和u=-0.05x+1的复合函数。根据复合函数求导法则有
y_x′=y_u′·u_x′
=（e^u）′·（-0.05x+1）′
=-0.05e^u
=0.05e^-0.05x+1
（3）y=sin（πx+φ）（其中，φ均为常数）
解：（1）函数y=sin（πx+φ）可以看作函数y=sinu和u=πx+φ的复合函数。根据复合函数求导法则有：
yx′=yu′·ux′
=（sinu）′·（πx+φ）′
=πcosu
=πcos（πx+φ）
总结，求函数的基本步骤：
1、分析函数的结构和特征；
2、选择恰当的求导法则和导数公式；
3、整理得到结果
注意：
对于求复合函数的导数要正确分析及还原字母名称。