课程内容

《不等式》

知识梳理
（一）不等式与不等关系
1.应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
（1）对称性：a﹥b<=>b＜a
（2）传递性：a﹥b，b﹥c=>a﹥c
（3）加法法则：a﹥b=>a+c﹥b+c
               a﹥b，c﹥d=>a+c﹥b+d
（4）乘法法则：a﹥b，c﹥0=>ac﹥bc
               a﹥b，c＜0=>ac＜bc
               a﹥b﹥0,c﹥d﹥0=>ac﹥bd
（5）倒数法则：a﹥b，ab﹥0=>1/a>1/b
（6）乘法法则：a﹥b﹥0=>aⁿ﹥bⁿ（n∈N*且n>1）
（7）开方法则：a﹥b﹥0=>ⁿ√a﹥ⁿ√b（n∈N*且n>1）
（二）二元二次不等式及其解法
一元二次不等式ax²+bx+c﹥0或ax²+bx+c>0（a≠0）的解集：
设相应的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁x₂，且x₁≤x₂，△=b²-4ac,则不等式的解的各种情况如下表：

典型命题
1.比较大小
例1：（4）当a﹥b﹥0时，log_1/2a  ＜  log_1/2b
     （5）（a+3）（a-2） ＜  （a+2）（a-4）
     （6）（x2+1）² ≥  x⁴+x²+1
2.利用不等式的性质求取值范围
例2 已知函数f（x）=ax2-c，满足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，那么f（3）的取值范围是。
拓展，已知-1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范围。
3.解一元二次不等式
解3.解关于x的不等式：（x-2）（ax-2）﹥0。
知识梳理
（一）线性规划
1.用二元一次不等式（组）表示平面区域
    二元一次不等式Ax+By+C﹥0在平面直角坐标系中，表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示某音域不包括边界直线）。
3.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件。
②线性目标函数：关于x、y的一次式：=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做线性目标函数。
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性的约束条件下的最大的值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x、y）叫可行解，
由所有可行解组成的集合叫做可行域，
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解。
（二）基本不等式
   √ab≤（a+b）/2
（1）如果a、b是正数，那么（a+b）/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）；
（2）基本不等式√ab≤（a+b）/2的几何意义是“半径小于半弦”。
典型命题
1.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解。
例1已知x，y满足不等式组：
x+2y≥2
2x+y≥1
x≥√0，y≥0
求z=3x+y的最小值。
2.利用基本不等式证明不等式
例2.求征（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²。 
3.利用基本不等式求最值
例3.求f（x）=4x+9/（x-5）（x﹥5）的最小值。