课程内容

《解三角形》
知识归纳
1.正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为△ABC外接圆的半径）。
正弦定理的三种变形；
①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2sinC；
②sinA=a/2R，sinB =b/2R，sinC=c/2R；
③a：b：c=sinA：sinB：sinC。
2.余弦定理
a²=b²+c²-2bccos，b²=a²+c²-2accosB；
c²=a²+b²-2abcosC或cosA=（b²+c²-a²）/2bc,
cosB=（a²+c²-b²）/2ac.cosC=（a²+b²-c²）/2ab。
余弦定理的有关问题；
①勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中分别令a，B，C为90°。上面关系式分别化为a²=b²+c²，b²=a²+c²,c²=a²+b²。
②在△ABC中，a²＜b²+c²<=>0°＜A＜90°。
a²﹥b²+c²=90°。
a²﹥b²+c²<=>90°＜A＜180°
3.三角形中的常见结论
（1）A+B+C=π
（2）在三角形中大边对大角，大角对大边。
（3）任意两边这和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
（4）有关三角形内角函数关系式：
sin（A+B）=sinC；     cos（A+B）=-cosC；
cos（A+B）/2=sinC/2； tan（A+B）/2=catC/2。
（5）在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC。
（6）△ABC的面积公式有：
①S=1/2a.h（h表示a边上的离）；
②S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA=abc/4R；
③S=1/2r（a+b+c）（r为内切圆半径）。
④S=√P（P-a）（P-b）（P-c），其中P=1/2（a+b+c）。
（7）在△ABC中，A﹥B<=>a﹥b<=>sinA﹥sinB。
误区警示
（1）在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应熟练掌握其判断方法。
（2）在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角形变换或代数式的怛等变形（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取因式，否则会有漏掉一种形状的可能。
4.方位角与方向角要区分，方位角是由指北方向顺时针旋转到目标方向线的最小正角，方向角如西北、南偏西30°等。
4.一般地，由sinα﹥sinβ≠>α﹥β。
例题一、解三角形
[例1]△ABC中，α=8，B=60°，C=75°，求b。
[解析]∵B=60°,C=75°∴A=45°
由正弦定理得α/sinA=b/sinB。
∴αsinB/sinA=8×sin60°/sin45°=4√6。
[例2]在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c=√21，b=4，且BC边上的离h=2√3。
（1）求角C
（2）求α
[解析]△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，
sinC=（2√3）/4=√3/2，则C=60°。
又由余弦定理可知
（√21）²=4²+a2-2.4.a.1/2。
即a2-4a-5=0，∴a=5或a=-1（舍去）
因此所求角C=60°，a连长为5。
二、判断三角形的形状。
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径；
（1）化边为角；（2）化角为边。
常见具体方法有：
①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；另外要注意b²+c²-a²>0<=>A为锐角，b²+c²-a²=0<=>A为直角，b²+c²-a²<0<=>A为钝角。
[例3]已知方程x2-（bcosA）x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状。
[解析]方法一：设方程的两根为x₁,x₂,由韦达定理知x₁+x₂=bcosA.x₁，x₂=acosB,
由题意得bcosA=acosB,根据余弦定理得
b.（b²+c²-a²）/2bc=a.（a²+c²-b²）/2ac。
∴b²+c²-a²=a²+c²-b²,
化简得a=b，∴△ABC为等腰三角形。
方法二：同方法一得bcosA =acosB,
由正弦定理得：2RsinBcosA=2RsinAcosB,
∴sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π。
∴A-B=0，即A=B，故△ABC为等腰三角形。
三、三角形的的应用
解三角形应用题常见的几种情况：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这里需要作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形列出方程，解方程得出所要的解。
常见问题型有：测量距离高度问题，测量角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等。
例4，我舰在敌岛A南偏西50°，相距12海量的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行，问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
解：如图，在ΔABC中由余弦定理得；
BC²=AC²+AB²-2.AB.AC.cos∠BAC
=20²+12²-2×12×20×（-1/2）=784
∴BC=28
∴我舰的追击速度为14海里/小时。
又在ΔABC中由正弦定理得：
AC/sinB=BC/sinA    故sinB=ACsinB/BC=（5√3）/14
∴B=38°  50°-38°=12°
四、命题的知识交汇点
解三角形常和三角形恒等变换、平面向量、函数最值结合命题
[例5]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别中a、b、c若sin2B+sinC2=sin2A+sinBsinC，且（→，AC）.（→，AB）=4，求△ABC的面积S。
[解析]由已知得b²+c²=a²+bc
∴bc=b²+c²-a²=2bccosA,∴cosA=1/2,sin=√3/2。
由（→，AC）.（→，AB）=4，得bccosA=4，∴bc=8
∴S=1/2bcsinA=2√3。