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    高中数学第二章2.4《抛物线及其标准方程》(选修2-1)

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    课程内容

    《抛物线及其标准方程》
    椭圆、双曲线的第二定义
    平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹。
    当0<e<1时,是椭圆;
    当e﹥1时,是双曲线。
    当e=1时,它又是什么曲线呢?
    1、抛物线的定义
    平面内与一个定点F和一条直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
    定点F叫做抛物线的焦点;
    定直线L叫做抛物线的准线。
    即:若∣MF∣/∣MN∣=1,则点M的轨迹的抛物线。
    数学实验
    用直尺,三角板,一条细绳,取绳长等于∣AC∣,把绳子两端固定地点A和F上,用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,毛尖就在图板上描出了戋要曲线。

    2、抛物线的标准方程
    求曲线方程的基本步骤是怎么样的?
    建系 设点 列式 化简 证明
    2-1、抛物线的标准方程的推导
    高一个定点到一条直线L的距离为常数P(P﹥0)即∣KF∣=P,如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢?

    探索一:以L为y轴,过点F且垂直于L的直线为x轴建立直角坐标系,则点F(P,0)。
    设动点M(x,y),由抛物线定义得
    √(x-P)2+y2=∣x∣
    化简得y2=2Px-p2(P﹥0)
    探索二:以定点F为原点,过点F且垂直于L的直线为x轴建立直角坐标系,
    由点F(0,0),L的方程为x=-P。
    √x2+y2=∣x+P∣
    化简得
    y2=2Px+P2(P﹥0)。
    探索三:取过点F且垂直于L的直线为x轴,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。
    建立直角坐标系,设∣KF∣=P(P﹥0)
    那么焦点F的坐标为(P/2,0)准线L的方程为x=-P/2
    设抛物线上的点M(x,y),则有
    ∣MF∣=∣MD∣√(x-P/2)2+y2=∣x+P/2∣
    (x-P/2)2+y2=x2+Px+P2/2
    y2=2Px(P﹥0)
    表示焦点在x轴的正半轴上的抛物线。
    一般地,我们把顶点在原点、焦点F在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程
    y2=2Px(P﹥0)
    表示的抛物线,其焦点F位于x轴的正轴上,其准线交于x轴的负半轴。
    其中P为正常数,它的几何意义是:焦点到准线的距离(焦准距)
    焦点F:(P/2,0)准点L的方程:x=-P/2
    但是,一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程一定有其它的形式。

     图象 开口方向   标准方程 焦点   准线
       向右  y2=2Px(P﹥0)
     F=(P/2,0)  x=-(P/2)
       向左  y2=-2Px(P﹥0)
     F=(-P/2,0)  x=(P/2)
       向上  x2=2Py(P﹥0)
     F=(0,P/2)  y=-(P/2)
       向下  x2=-2Py(P﹥0)
     F=(0,-P/2)  y=(P/2)
    3、例题讲解
    例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它有焦点坐标和准线方程;
    (2)已知抛物线的方程是y=6x2,求它的焦点坐标和准线方程;
    (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。
    解:(1)因为焦点在x轴的正半轴上,P=3,所以焦点坐标是(3/2,0)准线方程是x2=-3/2。
    (2)因为抛物线的标准方程x2=1/6 y,焦点在y轴的正半上,P=1/12,所以焦点坐标是(0,1/24),准线方程是y=-1/24。
    (3)因为焦点在y轴的负半轴上,并且P/2=2,P=4,所以所求抛物线的标准方程是x2=-8y。

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    朱老师

    男,中教高级职称

    对高中数学的基本概念和整体知识结构有清晰地把握,从高考的高度分析讲解各大知识板块。

    评论

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    挺好

    139****7909

    2019-01-06 10:55:16

    [天津市] 不错

    136****2358

    2018-10-16 22:27:41

    [河南省安阳市] 讲的真好 都听懂了

    lu110

    2016-12-02 19:03:09

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