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高中数学第二章2.1《曲线与方程》
一、曲线方程关系举例：
位于第一、三象限的角平分线的方程是x-y=0.即：如果点M（x₀，y₀）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，从而x₀=y₀，那么它的坐标（x₀，y₀）是方程x-y=0的解；反之，如果（x₀，y₀）是方程x-y=0的解，即x₀=y₀，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上（如右图）

函数y=ax²的图象是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线是所有以方程y=ax²的解为坐标的点组成的。这就是说，如果M（x₀，y₀）是抛物线上的点，那么（x₀，y_0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x₀，y₀）是方程的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。（如右图）
二、曲线与方程概念：
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某条件的点的轨迹）上的点与一个二元函数f（x，y）=0的实数解建立了如下关系；
1、曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2、方程的解为坐标的点都是曲线上的。
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如何判断一个点是否在已知曲线上呢？
注意：由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P（x,y）在曲线C上的充要条件是f（x₀，y₀）=0.
练一练
证明：圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x²+y²=25，并判断点M（3,4）、（-2√5,2）是否在这个圆上。
证明：（1）设M（x₀，y₀）是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所有√（x₀²+y₀²）=5,也就是x₀²+y₀²=25
即（x₀，y₀）是方程x²+y²=25的解。
（2）设（x₀，y₀）是方程（x₀，y₀）的解，那么x₀²+y₀²=25   ∴√（x₀²+y₀²）=5
即点M（x₀，y₀）到原点的距离等于5，点M（x₀，y₀）是这个圆上的点。
由（1）（2）可知，x₀²+y₀²=25是以坐标原点为圆心，半径为5的圆的方程。
把点M₁（3，-4）是方程的解，所以点M₁在这个圆上；
把点M₂（-2√5，2）的坐标代入方程x²+y²=25，左右两边不等，（-2√5，2）不是方程的解，所以点M₂不在这个圆上。
练一练
（1）判断A（2,3）B（-1，2√2）C（-2+3cosθ，3sinθ）三点是否在方程x²+y²+4x-5=0的曲线上？
（2）已知方程mx²+ny²-4=0的曲线经过点A（1，-2）B（-2,1），则m=____,n=____.
解析几何有两类问题：
一是利用曲线求方程；
二是利用方程研究曲线的性质。
其中最基本的方法是坐标法。
那么：如何求曲线（点的轨迹）方程？
点M→→按某种规律运动（几何意义）→→曲线C   
坐标（x,y）→→x,y的制约条件（代数意义）→→方程f（x,y）=0  
求曲线方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程
例1：一直一条曲线在x轴的上方，它上面的点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求次曲线方程？
解：设（x,y）为曲线上的任意一点，MB⊥x轴，垂足为B。

∵M在x轴的上方，|MA|-|MB|=2
∴√(（x-2)²+(y-2)²)-|y|=2且y>0
∴√(（x-2)²+(y-2)²)=y+2（y>0）
(（x-2)²+(y-2)²)=（y+2）²（y>0）
∴y=x²/8(x≠0)
例2、点M与两条相互垂直的直线的距离的积是常数k（k>0），求点M轨迹方程。
解：已知的两条垂直直线为坐标系，建立直角坐标系。
设点M（x,y）是满足题设条件的轨迹上的任意一点，则P=｛M/|MR||MQ|=k｝,其中Q,R分别是点M到x轴，y轴的垂线的垂足
所以   |x||y=k  即  xy=±k
证明：（1）由求解过程知，曲线上的坐标都是方程的解。
（2）设M₁（x₁，y₁）是方程xy=±k的解，则x₁y₁=±k即x₁y₁=k 而|x_1||y₁|是点M到x轴的距离。
所以M₁（x₁，y₁）到这两条直线的距离之积是常数k即以方程的解为坐标的点在曲线上
由（1）（2）知方程xy=±k是所求轨迹方程。
例2、点M与两条相互垂直的直线的距离的积是常数k（k>0），求点M的轨迹方程。

小结：求曲线的（轨迹）方程的“五步法”
1）建系设点：建立适当的坐标系，用（x，y）表示曲线上的任意一点
2）列式：找出曲线上的点所满足的几何关系式。
3）代换：用（x,y）来表示点的几何关系式。
4）化简：化简所得方程为最简形式。
5）证明（一般简化为检查）。
审查所求的方程中有无多（或少）的特殊点。
例3、Rt△ABC中，A、B为两定点|AB|=2a（a>0）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系，求直角顶点C的轨迹方程。

分析：求轨迹方程时，要充分挖掘图片的几何性质，寻找形成曲线的条件所包含的等量关系。
解：设点C（x,y）
由题意知A（-a,0）,B(a,0)
法1：因为△ABC三点构成Rt三角形
∴|AB|²=|BC|²+|AC|²
即：（2a）²=（√（x-a）²+y²）²+(√（x+a）²+y²)²
x²+y²=a²
因为A、B、C三点构成三角形
故三点不共线，点C的纵坐标y≠0
∴x≠±a，即直角顶点C的轨迹方程为
x²+y²=a²（x≠±a）
法2：因为BC⊥CA
∴
k_BC·k_BC=-1
∴y/(x+a)·y/(x-a)=-1即x²+y²=a²
由A、B、C三点不共线，
∴x≠±a，即直角顶点C的轨迹方程为
x²+y²=a²（x≠±a）
法3：连结OC
因为|OA|=|OB|  BC⊥CA
∴|OC|=1/2|AB|=a
∴√（x²+y²）=a
x²+y²=a²
因为A、B、C三点构成三角形
x²+y²=a²（x≠±a）
法4：如图设C（x,y）
因为（→，CB）⊥（→，CA）∴（→，CB）·（→，CA）=0
（a-x,-y）·（-a-x,-y）=0
∴x²+y²=a²（x≠±a）
因为A、B、C三点构成三角形
∴x=±a，即直角顶点C的轨迹方程为
x²+y²=a²（x≠±a）
例题小结：
1、求出轨迹方程后，应考察曲线的完备性和纯粹性，以防“疏漏”和“不纯”。主要注意：
（1）图形中有无特殊的限制；
（2）相应的公式有无范围限制；
（3）审查化简变形时的等价性；
2、审题时要仁政“识图”，联想与图形相关的定理，并对几何条件的代数化方法作取舍而优选。如例2切入点很多，不同的方法繁简大不相同。