课程内容

第二十四章《一元二次方程》 24.1 一元二次方程

温故而知新

1、我们已经学过什么方程？

一元一次方程，二元一次方程组，分式方程

2、什么是一元一次方程？

只含有一个未知数，且未知数次数是1的整式方程叫一元一次方程。

一般形式  ax+b=0(a≠0)

观察与思考

如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22cm）另外三面用90m长的铁栅栏围起来，如果这个存车处的面积为700平方米，求这个长方形存车处的长和宽。

分析下面小明和小亮列方程的做法，思考所列方程的特征。

小明的做法

  设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为xm，则它的长为

根据题意，可得方程

=700

整理，得

x2-90x+1400=0.

  小亮的做法

    设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为xm,则它的宽为（90-2x）m.

    根据题意，可得方程

   （90-2x）x=700

    整理，得

    x2-45x+350=0.

做一做

  如图24-1-2，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？

  如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为xm,请列出方程，并谈谈所列方程的特征。

      解：由题意，可列出方程为

          72+（6+x）2=102

          整理，得

          x2+12x-15=0. 

观察这三个方程，它们有什么共同特点呢？

    x2-90x+1400=0.

    x2-45x+350=0.

    x2+12x-15=0. 

  特征：

（1）.有一个未知数

（2）.未知数的最高次数为2

（3）.整式方程

一元二次方程的概念

    只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。

    一元二次方程的一般形式为

  ax2 + bx + c =0(a¹0）

     ax2是二次项  a是二次项系数

     bx是一次项   b是一次项系数

     c是常数项

 讨论

 ax2 + bx + c =0(a¹0） 

（1）当a=0，b¹0时  bx+c=0            是一元一次方程

 (2) 当a¹0，b=0时  ax2 + c =0        是一元二次方程

 (3) 当a¹0，c=0时  ax2 + bx =0       是一元二次方程

针对练习

  1、将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项，一次项和常数项

    （1）x2=121;                 (2)(2x-3)(3x-2)=10;

    (3)        (4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2

    答案是：

    （1）x2-121=0     （2）6x2-13x-4=0

    （3）2x2+x-48=0   （4）5x2+6x+2=0

 注意：一元二次方程的项和系数包括前面的符号。

2、在下列各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面的根？

（1）x2-3x-4=0      (x=1,x=-1,x=4);

（2）(x+2)(x-2)=12  (x=-1,x=-4,x=4)

（3）2y2-y-1=0      (y=0,y=1,y=-1/2)

一元二次方程的解也叫做这个方程的根