九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.3 圆周角（第一课时）

课程内容

第三章《对圆的进一步认识》

3.3 圆周角

第一课时

观察与思考

（1）如图3-22，点A,B，C是⊙O上的三个点.以A为端点作射线AB,AC，得到了一个怎样的角？

（2）（1）中是∠BAC有什么特征？

∠BAC的顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角（angle in circular segment）.

（3）圆周角与圆心角有什么不同？

（4）观察图3-23中的各角，其中哪些是圆周角？哪些是圆心角？

实验与探究

任意画一个⊙O，在圆上任意取三个点A,B,C，连接AB,AC.

（1）圆心0与∠BAC有几种可能的位置关系？与同学交流.

圆心与同圆上的圆周角的位置关系有三种情况：圆心在圆周角的一边上（图3-24①），圆心在圆周角的内部（

图3-24②），圆心在圆周角的外部（图3-24③）.

（2）在图3-24①中，AB是⊙O的直径，连接OC,你发现∠BOC与∠BAC有什么位置和数量关系？

（3）能将问题（2）中的结论推广到图3-24②③吗？由此你猜想圆周角与它所对弧上的圆心角有怎样的数量关系？怎样证明你的结论？

已知：如图3-25，A,B,C是⊙O上的任意一定.

求证：∠BAC=1/2∠BOC.

证明

（1）当圆心O在∠BAC的一条边上时（图3-25①）.

在△OAB中，

∵OA=OB,

∴∠BAO=∠OBA.

∵∠BOC=∠BAO+∠OBA,

∴∠BOC=2∠BAO.

∴∠BAC=1/2∠BOC.

（2）当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD(图3-25②).

（3）当圆心O在∠BAC的外部时（图3-25③），你能给出证明吗？试一试，与同学交流.

归纳以上三种情况的结论，就得到

圆周角定理

圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.

因为圆心角与它所对弧的度数相等，因而由圆周角定理可以直接得到

推论1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.

例1

如图3-26，在⊙O中，∠AOB=110°，在点C在

上，求∠ACB的度数.

解

点C在的位置有两种情况：

（1）当点C在劣弧上时（图3-26①），

∵∠AOB=110°，

∴

的度数=110°.

∴

的度数=360°-110°=250°.

∴∠ACB=1/2×250°=125°.

（2）当点C在优弧上时（图3-26②），

∵∠AOB=110°，

∴∠ACB=1/2∠AOB

=1/2×110°=55°.

练习

1.如图，在⊙O中，∠AOB=70°，OB⊥AC，垂足为点D,求∠OBC的度数.

2.已知△ABC内接于⊙O，AB=AC,且

的度数为130°，求∠A的度数.