课程内容

《多边形的内角和与外角和》
学习目标
1、了解多边形及多边形的相关概念；
2、掌握多边形内角和公式的三种探索方法，自己能通过内角和推出外角和；
3、识记多边形内角和公式与外角和；
4、通过多边形内角和公式的多种推导方法发展自己的发散思维能力，并掌握一种数学思想——转化思想。
试一试
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）。
你能说出三角形的定义吗？
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形的定义，说出什么叫四边形吗？
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。
那么多边形的定义呢？
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
注意：我们现在研究的是凸多边形。
既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
    五边形有5个内角，5条边，10个外角
那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
    六边形有6个内角，6条边，12个外角
那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
    n边形有n个内角，n条边，2n个外角
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
探索内角和
我们已经知道一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？
那么我们能不能利用三角形的内角和，来求出四边形的内角和，以及五边形、六边形、n边形的内角和？
探索新知
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
1、从一个顶点出发
2、从边上的一个点出发
3、从多边形内一个点出发
由此，我们就可以得出：
    n边形的内角和为(n-2)180°
（1）知道多边形的边数，可以求出多边形的度数。
（2）知道多边形的度数，可以求出多边形的边数。
例1、求八边形的内角和的度数。
分析：n边形的内角和公式为(n-2)180°，现在知道这个多边形的边数是8，代入这个公式即可求出。
解：  (n-2)180°
     =(8-2)180°
     =1080°
例2、已知多边形的内角和的度数为900°，则这个多边形的边数为___________。
例3、已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数。
那么对于正多边形来说，又遇到怎样的问题呢？
因为正多边形的每个角相等，所以知道正多边形的边数，就可以求出每一个内角的度数。
例4、正五边形的每一个内角等于_______，外角等于_______。
例5、如果一个正多边形的一个内角等于120°，则这个多边形的边数是_______。
例6、五边形中，前四个角的比是1:2:3:4，第五个角比最小角多100°，则这个五边形的内角分别为____________。
前面我们学习了三角形的外角和是360°，当时是怎样研究出来的？
（1）先把三角形的三个外角和三个内角这六个角的和求出来，刚好是三个平角。
（2）再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下的就是三角形的外角和了。
那么你能研究出四边形的外角和吗？
整体思路：（1）先求4个外角+4个内角的和；（2）再减去4个内角的和。
容易看出，4个外角+4个内角=4个平角
    而4个内角的和是360°，
那么四边形的外角和就是4×180°-360°=360°
那么能求出五边形、六边形、n边形的外角和吗？
   n边形的外角和就是n×180°-(n-2)×180°=360°
任意多边形的外角和都为360°。
练习
1、正五边形的每一个外角等于______，每一个内角等于______。
2、如果一个正多边形的一个内角等于120°，则这个多边形的边数是______。
3、如果一个正多边形的一个内角等于150°，则这个多边形的边数是______
   A、12     B、9     C、8     D、7
4、如果一个多边形的每一个外角等于30°，则这个多边形的边数是______