课程内容

《用尺规作三角形》
求助
豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？
你能帮他画出来吗？
回眸
三角形的基本元素是边和角。
你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？
自己动手试一试！
你会用尺规作一个角等于已知角吗？
回顾&思考
1、作一条线段等于已知线段
利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段。
已知：线段AB。
求作：线段A'B'，使A'B'=AB。
作法：
（1）作射线A'C'；
（2）以点A'为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A'C'于点B'。
A'B'就是所求作的线段。
2、“作一个角等于已知角”
已知：∠AOB。
求作：∠A'O'B'使翻∠A'O'B'=∠AOB。
作法：
（1）作射线O'A'；
（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O'为圆心，同样（CO）长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（4）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，交前面的弧于点D'；
（5）过点D'作射线O'B'。
∠A'O'B'就是所求的角。
探索
你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？
探索出真知
1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
已知：∠α，∠β，线段c。
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
你能作出这个三角形吗？
对于边和角，你想先作角，再作边，最后作角。
作法：
（1）作∠DAF=∠α；
（2）在射线AF上截取线段AB=c；
（3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
还有没有其他的作法？
对于边和角，你想先作边，再作角，最后作角。
请按照给出的作法作出图形。
作法：
（1）作线段AB=c；
（2）以A为顶点，以AB为一边，作∠DAB=∠α；
（3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所求作的三角形。
你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？
2、已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
已知：线段a，c，∠α。
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
对于边和角，你想先作边，再作角，最后作边。
请按照给出的作法作出图形。
作法：
（1）作一条线段BC=a；
（2）以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α；
（3）在射线BD上截取线段BA=c；
（4）连接AC。
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
还有没有其他的作法？
对于边和角，你想先作角，再作边，最后作边。
尝试自己作图，并用语言表述作法。
作法：
（1）作∠OBE=∠α；
（2）在射线BD、BE上分别截取BA=c，BC=a；
（3）连接AC。
△ABC就是所求作的三角形。
你知道的常用作图语言有哪些呢？
（1）作∠……=∠……
（2）在……上截取，使……=……
（3）以……为顶点，以……为一边，作∠……=∠……
（4）作一条线段……=……
（5）连接……，或连接……交……于点……
（6）分别以…、…为圆心，以…、…画弧，两弧交于……点
3、已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
尝试自己分析并作出这个三角形，写出作法。
作法：
（1）作一条线段BC=a；
（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；
（3）连接AB，AC。
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
经过前面的实践，我们如何来分析作图题昵？
1、假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；
2、在草图上标出已给的边、角的对应位置；
3、从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；
4、在3的基础上逐步向所求图形扩展。
我们一起做！
1、已知∠α和∠β、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β，且∠α的对边等于a。
提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ。由此转换成已知∠β和∠γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
作法：1、作∠α+∠β的补角∠γ
      2、作∠GBE=∠β
      3、在射线BE上截取BC=a
      4、以C为顶点，CB为一边作∠FCB=∠γ
      5、射线BG与射线CF相交于点A
△ABC就是所求作的三角形。
拓展提高
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。
作法：
1、作∠MAN=∠α
2、在射线AM上截取AB=b
3、以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C，C'
4、连接BC，BC'
△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及—边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。
小结
★学会了用尺规做三角形的方法
★学会了已知两边及它们的夹角做三角形的方法
★学会了已知两角及它们的夹边做三角形的方法
★学会了已知三边做三角形的方法
★学会了已知两角及一边做三角形的方法