课程内容

《反证法 放缩法》
（1）反证法
先假设要证的命题成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已知证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法，对于那些直接证明比较命题常常用反证法证明。
例1 已知x，y﹥0，且x+y﹥2，
试证（1+x）/y，（1+y）/x中至少有一个小于2。
证明：假设（1+x）/x，（1+y）/x都不小于2,
即（1+x）/y≥2,且（1+y）/x≥2，
∵x，y﹥0，∴1+x≥2y，1+y≥2x，
∴2+x+y≥2（x+y）∴x+y≤2，
这与已知条件x+y﹥矛盾。
∴（1+x）/y与（x+y）/x中至少有一个小于2
例2 已知a，b,c为实数，a+b+c﹥0，ab+bc+ca﹥0，abc﹥0，求证：a﹥0，b﹥0,c﹥0。
证明：假设a，b，c不全是正数，
即其中至少一个不是正数，
不妨先设a≤0，下面分a=0和a＜0两两种情况讨论。
（1）如果a=0，则abc=0，与abc﹥0矛盾，∴a=0不可能。
（2）如果a＜0，那么由abc﹥0,可得bc＜0，又a+b+c﹥0，
∴b+c=-a﹥0，于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，这和已知ab+bc+ca﹥0相矛盾，∴a＜0也不不可能综上所述a﹥0，同理可证b﹥0，c﹥0,所以原命题成立。
反证法主要适用于以下两种情形
（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明，只研究一种或很小的几种情形。
（2）放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法。
通常放大缩小是不唯一的，因而放缩法具有奖励的灵活性；另外，用放缩法证明不等式，关键是放缩适当，否则就不能达到目的，因此放缩法是技巧性较强的一种证法。
例3 已知a，b,c，d ∈R₊，求证1＜a/（a+b+d）+b/（b+c+a）+c/（c+d+b）+d/（d+a+c）＜2
证明：∵a,b，c，d﹥0，
∴a/（a+b+c+d）＜a/（a+b+d）＜a/（a+b）
b/（a+b+c+d）＜b/（b+c+a）＜b/（a+b）
c/（a+b+c+d）＜c（c+d+b）＜c/（c+d）
d/（a+b+c+d）＜d/（d+a+c）＜d/（c+d）
把以上四个不等式相加得
（a+b+c+d）/（a+b+c+d）＜b/（a+b+d）+b/（b+c+d）+c/（c+b+d）+d/（d+a+c）＜（a+b）/（a+b）+（c+d）/（c+d）。即
1＜a/（a+b+d）+b/（b+c+a）+c（c+b+a）+d/（d+a+c）＜2
例4 已知a，b是实数，求证∣a+b∣/1+∣a+b∣≤∣a∣/1+∣a∣+∣b∣/1+∣b∣。
证明：∴0≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
∴∣a+b∣/1+∣a+b∣=1-1/1+∣a+b∣≤1-1/1+∣a∣+∣b∣=∣a∣+∣b∣/1+∣a∣+∣b∣
=∣a∣/1+∣a∣+∣b∣+∣b∣1+∣a∣+∣b∣≤∣a∣/1+∣a∣+∣b∣+
∣b∣/1+∣b∣。
2.已知实数，x，y，z不全为零，求证：
√（x²+xy+y²）+√（y²+yz+z²）+√（z²+zx+x²）﹥3/2（x+y+z）
证明：√（x²+xy+y²）=√{（x+y/2）²+3/4y²}≥√（x+y/2）²
=∣x+y/2∣≥x+y/2
同理可得√（y²+yz+z²）≥y+z/2，√（z²+zx+x²）≥z+x/2
由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得√（x²+xy+y²）+√（y²+yz+z²）+√（z²+zx+x²）﹥（x+y/2）+（y+z/2）+（z+x/2）=3/2（x+y+z）
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如要证明A＜B，可先将A放大成&，即A＜C，后证C＜B常用的放缩技巧有：
（1）舍掉（或加进）一些项；如（a+1/2）²+3/4﹥（a+1/2）²；
（2）在分式中放大或缩小分子或分母，如a，b，c﹥0，1/（a+b+c），1/(a+b)＜1/a，1/k²＜1/k（k-1）,/k²﹥1/k（k+1），1/√k＜2/√k+√k+1