课程内容

《分析法 综合法》
（1）综合法
在不等式的证明中，我们经常从已知条件和不等式的性质，基本不等式出发，通过逻辑护理，推导出所要证明的结论。这种从已知条件，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的护理，论证而得出命题成立的证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法。
例如：已知a，b，c∈R，证明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca
用综合法证明不等式的逻辑关系
A=>B₁=>B²=>…=>Bⁿ=>B
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
例1 已知a，b，c﹥0，且不全相等，
求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）﹥6abc
例2 已知a¹，a²，…，aⁿ ∈R+，且a¹a²…aⁿ=1，
求证：（a+a¹）(1+a²)…（a+aⁿ）≥2ⁿ
利用综合法证明不等式时，应注意对已证明不等式使用，常用的不等式有：
（1）a²≥0；
（2）∣a∣≥0；
（3）a²+b²≥0=2ab；它的变形式又有（a+b）²≥4ab；（a²+b²）/2≥{（a+b）/2}²
（4）（a+b）/2≥√ab；它的变形形式又有a/b+b/a≥2（ab﹥0）；a/b+b/a≤-2（ab＜0）
（2）分析法
从要证的结论出尽，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件已知或一个明显成立的事实（定义、公理或已证的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法。
例如：证明：（a²+b²）/2≥{（a+b）/2}²
用分析法证明不等式的逻辑关系
A<=B1<=B2<=…<=Bn<=A
（已知）（步步寻求不等式成立的充分条件）（结论）
例3 求证√2+√7＜√3+√6
例4 已知a，b，c﹥0，求证（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）≥abc
练习：
1.a，b，c，∈R₊，证明：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc
2.a，b，c，∈R₊，证明：2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）
3.已知m，n∈R₊，求证：（m+n）/2≥^m+n√mⁿn^m，
4.已知0＜x＜1，a﹥0且a≠1，
试比较∣log_a（1-x）∣与∣log_a（a+x）∣的大小，并说明理由。