课程内容

《比较法》
（1）作差比较法
一、比较法
例1  已知a，b都是正数，且a≠b，求证a³+b³﹥a²b+ab²
证明：（a3+b3）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）-（ab²-b³）
    =a²（a-b）-b²（a-b）=（a²-b²）（a-b）
    =（a+b）（a-b）²
∵a，b﹥0,∴a+b﹥0
又∵a≠b∴（a-b）²﹥0
故（a+b）（a-b）²﹥0即（a³+b³）-（a²b+ab²）﹥0
∴a³+b³﹥a²b+ab²
例2 如果用akg白糖制出bkg粮溶液，则其浓度为a/b，若要上述溶液中添加mkg白糖，此时溶液的尝试增加到（a+m）/（b+m）,将这个抽象为数学问题，并给出证明。
解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：
已知a，b，m都是正数，并a＜b且，则（a+m）/（b+m）﹥a/b下面给出证明
（a+m）/（b+m）-a/b=m（b-a）/b（b+m）
∵b＜a∴b-a﹥0，又∵a，b，m都是正数，
∴m（b-a）﹥0，b（b+m）﹥0
∴m（b-a）/b（b+m）﹥0即（a+m）/（b+m）-a/b﹥0
∴（a+m）/（b+m）﹥a/b
（2）作商比较法
例3 已知a，b是正数，求证a^ab^b≥a^bb^a,
当且仅当a=b时，等号成立。
证明：a^ab^b/a^bb^a=a^a-bb^b-a=（a/b)^a-b
根据要证的不等式的特点（交换a，b的位置，不等式不变）
不妨设a≥b﹥0，则a/b≥1，a-b≥0，∴（a/b）^a-b≥1
当且仅当a=b时，等号成立。
a^ab^b≥a^bb^a，当且仅当a=b时，等号成立。
变式引申：求证：若a，b，c∈R+，则a^ab^bc^c≥（abc）（a+b+c）/3
补充例题：已知a﹥2，求证：loga（a-1）＜log（a+1）^a
1.已知a﹥b，求证a³-b³﹥ab（a-b）
2.已知a，b，c是正数，求证a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^c+ac ^+b