课程内容

《不等式和绝对值不等式》
这节课我们来研究：绝对值有什么性质？
我们知道，一个实数的绝对值的意义：

表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离。
关于绝对值还有什么性质呢？
①∣a∣√a²
思考：用恰当的方法要数轴上把∣a∣，∣b∣，∣a+b∣表示出来，你能发现它们之间的什么关系？
注：绝对值的几何意义：

（1）∣a∣表示数轴上的数A对应的点与原点O的距离∣OA∣；
（2）∣a-b∣表示数轴上的数A对应的点与数b对应的点B的距离，如图：
即∣a∣=∣OA∣，∣a-b∣=∣AB∣
定理1 如果a，b是实数，则∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣（当且仅当ab≥0时，等号成立）
（1）若把a，b换为复数z₁，z₂,

结论：∣z₁+z₂∣≤∣z₁∣+∣z₂∣成立吗？
（2）若把a，b换为向量（→，a），（→，b）情形又怎样呢？
∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
-b代b，得：∣a∣-∣-b∣≤∣a+（-b）∣≤∣a∣+∣-b∣
即∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
定理（绝对值三角不等式）
如果a，b，是实数，则∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
注：当a、b为复数或向量时结论也成立。
注意：1°这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2°，对于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
a，同号时右边取“=”，a，b异号时左边取“=”
3°，对于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
a，同号时左边取“=”，a，b异号时右边取“=”
我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：
推论1 （运用数学归纳法可得）：
∣a₁+a₂+…+a_n∣≤∣a₁∣+∣a₂∣+…+∣a_n∣.
定理2：如果a、b、c是实数，那么∣a-b∣≤∣+a-b∣+∣b-c∣,
当且仅当（a-b）（b-c）≥0时，等号成立。
例题
例1 已知ε﹥0，∣x-a∣＜ε,∣y-b∣＜ε，
求∣2x+3y-2a-3b∣＜5ε
例2 已知∣x-a∣＜ε/2M，0＜∣y-b∣＜ε/2∣a∣,y∈（0，M）,
求证∣xy-ab∣＜ε。 
练习
1.①已知∣x∣﹥r﹥0，a≠0，求证∣1/ax∣＜1/∣a∣r。
  ②已知∣a_n-ι∣＜1,求证∣a_n∣＜∣ι∣ +1。
2.已知∣A-a∣＜ε/2，∣B-b∣＜ε/2,求证：
①∣（A+B）-（a+b）∣＜ε；
②∣（A-B）-（a-b）∣＜ε。
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路碑的第10公里和第20公里处，现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
解：如果生活区建于公路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为s（x）km
那么 S（x）=2（∣x-10∣+∣x-20∣）,要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
如果a，b，是实数，则∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
注：当a、b为复数或向量时结论也成立。
定理2：如果a、b、c是实数，那么∣a-b∣≤∣+a-b∣+∣b-c∣,
当且仅当（a-b）（b-c）≥0时，等号成立。