课程内容

《不等式》
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥ ³√abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。
证明：若a，b，c∈R+，则，a³+b³+c³≥3abc,当且仅当a=b=c时，等号成立。
和的立方公式：
（x+y）³=x³+3x²y+3xy²+y³
立方和公式：
x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）
定理 如果a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥³√abc当且仅当a=b=c时，等号成立。
（1）若三个正数积是一个常数，那么当仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
（2）若三个正数的和是一个常数，那么当仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
n个正数的算术——几何平均不等式：
若a₁，a₂，a₃，…，a_n∈R+，则
（a₁+a₂+a₃+…+a_n）/n≥ⁿ√a₁，a₂，a₃，…，a_n,
当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n,时，等号成立。
例1 求函数y=2x2+3/x（x﹥0）的最小值。下面解法是否正确？为什么？
解法1：由x﹥0知2x²﹥0，3/x﹥0，则
y=2x2+3/x≥2√2x².3/x=2√6x
当且仅当2x²=3/x=3/x即x=³√3/2时，y_min=2√（6 ³√3/2）=2 ³√18
解法2：由x﹥0知2x2﹥0，1/x﹥0，2/x﹥0，则
y=2x²+3/x=2x²+1/x+2/x≥3 ³√（2x².1/x.2/x）=3 ³√4
ymin=3 ³√4
解法3：由x﹥0知2x²﹥0，3/2x﹥0，则
y=2x²+3/x=2x²+3/2x+3/2x≥3 ³√（2x².3/2x.3/2x）=3 ³√9/2
当且仅当2x²=3/2x即x=3 ³√3/4时
y_min=3 ³√9/2=3/2 ³√36
变式
1函数y=3x+12/x²（x﹥0）的最小值是（ C ）
A、6  B、⁶√6   C、9   D、12
2、函数y=4x²+16/（x²+1）2的最小值是  8  
例2 如下图，把一块连长是a的正方形铁片的和解切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形连长是多少时，才能使盒子的容积最大？
练习
1、函数y=x⁴（2-x²）（0＜x＜√2）的最大值是（D）
A、0   B、1  C、16/27  D、32/27
2、若a，b∈R⁺,且a﹥b,则a+1/（a-b）b≥     
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值的问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。
这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到归化的目的。