课程内容

《与圆有关的比例线段》
前面我们讨论了与圆有关的角之间的关系，自然的我们可以讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题下面沿用从特殊到一般的思路，讨论与圆的相交弦有关的问题。
探究  如图2-20，AB是圆O的直径CD⊥AB，AB与CD相交于P，线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
连接AD、BC，则由圆周角定理的推论可得：∠A=∠C。故Rt△APD～Rt△CPB。则PA/PD=PC/PB。则PA.PB=PC.PD。
以上通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理，下面从新的角度考察与圆有关的比例线段。
探究 使圆的两条相交弦的交点P从圆内运动到圆上（图2-23）。再到圆外（2-24）结论（1）是否还能成立？
当点P在圆上时，PA=PB=0，所以PA.PB=PC.PD仍成立，当点P在圆外时，在图2-24中，连接AD、BC，容易证明△PAD～△PCB，所以PA/PC=PD/PB，即PA.PB=PC.PD。（1）
根据上述探究和论证，我们有割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
下面继续用运动变化思想探究
探究 在图2-24中，使割线PB绕P点运动到切线位置（图2-25），是否还有PA.PB=PC.PD？
连接AC、AD，同样可以证明△PAC～△PDA（请同学们自己证明），因而（1）式仍然成立。在这种情况下，A、B两点重合，PA.PB=PC.PD，变形为：PA²=PC.PD。（2）
由上述探究和论证，我们有
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
设点P为圆外一点，过P的圆的切线的切点为A，称PA为P点到圆的切线长。
结合切线的性质定理，我们有
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
证明：如图2-27，连接OA、OC，则OA=OC，OP=OP，所以Rt△OAP≌Rt△OCP。故PA=PC，∠APO=∠CPO。
思考 由切割线定理能证明切线长定理吗？在图2-26中，由P向圆任作一条割线试一试，另外你能将切线长定理推广到空间的情形吗？
例2 如图2-29，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F、FG切圆于G，求证：（1）△DFE～△EFA；（2）EF=FG。
证明（1）因为EF∥CB，
所以∠DEF=∠DCB。
因为∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角，
所以∠DAB=∠DCB=DEF。
又∠DFE=∠EFA，故△DFE～△EFA。
（2）由（1）知△DFE～△EFA，
所以EF/AF=FD/EF，即
EF2=FA.FD。
因为FG是圆的切线，
所以FG²=FA.FD，
故FG2=EF2，即FG=EF。