课程内容

《圆的切线性质与判定定理》
我们知道，直线与圆有相交、相切和相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点个数刻画的，直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切；直线与圆没有公共点，称直线与圆相离。
本节专门讨论直线与圆相切的情形。我们先看当直线与圆相切时有什么性质。
如图2-11，直线L是圆O的切线，A为切点的观察、测量图形可发现L⊥OA，那么L与半径OA是否一定垂直呢？
假设L与OA不垂直，那么过点O可作OM⊥L，垂足为M，根据“垂线段最短”性质，可得OA﹥OM，这就是说圆心到直线L的距离小于圆的半径，于是L就应该与圆O相交，这与L是圆O的切线相矛盾，因此，L与OA一定垂直。
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之，过切点且垂直于切线的直线一定经过圆心，由此得到：
推理1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推理2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
下面通过考察性质定理的逆命题来得到判定定理。
如图2-11，点A是圆O与直线L的公共点且L⊥OA，在直线L上任取异于点A的点，都有OB﹥OA，这是因为△OBA是直角三角形，而OB是RT△OBA的斜边，因此，点B在圆外，由点B的任意性，知圆与直线只有一个公共点，因此L的切线，由此可得
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线。
例1 如图2-12，AB是圆O的直径，圆过BC中点D，DE⊥AC。求证：DE是圆O的切线。
证明 连接OD。因为BD=CD，OA=OB，所以OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，又因为∠DEC=90°，
所以∠ODE=90°，又因为D在圆周上，所以DE是圆O的切线。
例2 如图2-13，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，AD和过C点的切线互相垂直垂足为D。求证：AC平分∠DAB。
证明 连结OC，因为CD是圆的切线，所以OC⊥CD。
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，由此得∠ACO=∠CAD。
因为OC=OA，所以∠CAO=∠ACO。
则∠CAD=∠CAO，故AC平分∠DAB。
思考 圆的切线性质定理用它的两个推论，涉及一条直线的三条性质；（1）经过圆心；（2）经过切点；（3）垂直于切线，你能把圆的切线性质及它的两个推论概括在同一个定理中吗？