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《圆内接四边形的性质与判定定理》
在讨论了圆内的角以后，我们来讨论与圆相关的多边形。
如果多边形的标点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接收圆。
思考 我们知道，任意三角形都有外接圆那么任意正方形有外接圆吗？为什么？任意矩形是否有外接圆？一般地，任意四边形都有外接圆吗？
我们从问题的反而入手：如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？
探究 观察图2-5，这组图中的四边形都内接于圆，你能从中发现这些四边形的共同特征吗？
一般地，我们可以从四边形的边的关系、角的关系等来考察这些图形的共同特征，下面考察四个角的关系。
显然，圆内接四边形的角都是圆周角，因此，为了考察这些圆周角的关系，我们可以借助圆周角定理。
如图2-6（1），连接OA、OC。则∠B=1/2α。∠D=1/2β。
因此α+β=360°，所以∠B+∠D=1/2×360°=180°
同理得∠A+∠C=180°。
由此得圆内接四边形的性质定理1：
定理1 圆的内接四边形的对角互补。
将图2-6（1）中的线段AB延长到点E，得到图2-6（2），由于∠ABC+∠EBC=180°，所以°∠EBC=∠D。
于是又得性质定理2：
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理。
假设：四边形ABCD中∠B+∠D=180°，
求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）。
分析 不在同一条直线上的三点确定一个圆经过A、B、C三点作圆O，如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题。
显然，圆O与点D有且只有三种位置关系，
（1）点D在圆外；（2）点D在圆内；（3）点D在圆上只要证明在假设条件下只有（3）成立，也就证明了命题。
证明：（1）如果点D在圆的外部（图2-7）设E是AE与圆周的交点，连结EC，则有∠AEC+∠B=180°由题设∠B+∠D=180°可得∠D=∠AEC。这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
（2）如果点D在圆的内部（图2-8）显然，AD的延长线必与圆相交，设交点为E，连结CE，则∠B+∠E=180°。因为∠B+∠ADC=180°，所以∠E=∠ADC，同样门生矛盾，所以点D不可能在圆内。
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆。
因此得
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
在圆内接四边形判定定理中，我们用分类思想对点D与ABC三点确定的圆的位置关系进行讨论，在每一种情形中都运用反证法，当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法。
推理：如果四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
请同学们自己写出推论证明。
例1：如图2-9，圆O₁与圆O₂都经过A、B两点经过点A的直线CD与圆O₁交于点C，与圆O₂交于点D，经过点B的直线EF与圆O₁交于点E，与圆O₂交于F，求证：CE∥DF
证明：连结AB。
因为四边形ABEC是圆O1的内接四边形。
所以∠BAD=∠E。
又因为四边形ADFB是圆O2的内接四边形。
所以∠BAD+F=180°，则∠E+∠F=180°
因此CE∥DF。
例2：如果2-10，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，EQ⊥AC,求证：A、B、P、Q四点共圆。
证明：连结PQ。
在四边QFPC中，因为FP⊥BC，FQ⊥BC，
所以∠QFA=∠FPC，则Q、F、P、C四点共圆，
故∠QFC=∠QPC，又因为CF⊥AB，
所以∠QFC与∠QFA=QPC。
因此，A、B、P、Q四点共圆。