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《圆周角定理》
我们已经掌握了圆的一些知识，知道了圆的结构特点，学习了与圆相关的一些概念，并且也研究过圆的弦、圆心角、圆周角、切角等性质，本讲奖在此基础上，进一步学习圆的知识，特别是要证明一些反映圆与直线关系的重要定理。
一、圆周的定理
我们知道，圆心角和圆周角是与圆相关的两个重要的角，它们之间有没有内在联系呢？
探究：在圆O中作一个顶点为A的周角∠BAC，连续OB、OC，得圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小，这种关系会改变吗？
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有∠BAC=1/2∠BOC。
一般地，我们有：
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
已知：如图2-1，在圆O中，弧BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC、∠BOC。求证：∠BAC=1/2∠BOC。
分析:从图2-1一时难以发现证明思路，在圆中，圆心和直径是两个最重要的几何元素，利用直径，先考察一个特殊位置，即圆周角的一边是直径，如图2-1（1），圆周角∠BAC是等腰三角形AOC的底角，圆心角∠BOC是等腰三角形AOC的外角，利用“三角形外角等于不相邻两内角的和”以及等腰三角形的性质，可以得到结论成立。
以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及相关的圆心角，如图2-2（2）、（3）所示，只要能钭它们化归为（1）的情形，问题就解决。
证明：分三种情况讨论
（1）如图2-2（1），圆心O在∠BAC的一条边上，因为OA=OC。
所以∠C=∠BAC。
因为∠BOC=∠BAC+∠C，
所以∠BAC=1/2∠BOC。
（2）如图2-2（1），圆心O在BAC的内部。
作直径AD，利用（1）的结果，有∠BAD=1/2∠BOD，
∠DAC=1/2∠BOC。
所以∠BAD+∠DAC=1/2（∠BOD+DOC）
即∠BAC=1/2∠BOC
（3）如图2-3（3），圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，有∠BAD=1/2∠BOD，∠DAC=1/2∠DOC。
则∠DAC-∠DAB=1/2（∠DOC-∠DOB），
即∠BAC=1/2∠BOC。
我们知道，一个周角是360°，把圆周角分成360份，每一份叫做1°的弧，由此，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角的度数n°，从而有：
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，因此由圆周角定理可以直接得到：
推论1 同弧或等弧所对的圆心角相等；同圆等等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角气结的弦是直径。
例1 如图2-3，AD是△ABC的高，AF是△ABCr外接圆直径，求证：AB.AC=AE.AD
证明：连接BE
因为∠ADC=∠ABE=90°，
∠C=∠E，
所以△ADE∽△ABE，
则AC/AE=AD/AB，即AB.AC=AE.AD。
例2 如图2-4，AB与CD将于圆内一点P，求证：弧AD的度数与弧ACr度数和的一半等于∠APD的度数。
分析，由于∠APD即不是圆心角，也不是圆周角，为此我们需要构造一个与它相等的圆心角或圆周角，以便利用定理。
证明：如图2-4，过点C用CE∥AB交圆于E，则有∠APD=∠C。因为弧AE=弧BC，（为什么？）
弧DAE=弧DA+弧AE=弧AD+弧DC。
又因为∠C的度数等于弧DAE的度数的一半。
∠APD的度数等于弧AD与弧BC的度数和的一半。