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    高中数学第二章复习课《点、直线、平面之间的位置关系》(必修2)

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    课程内容

    《点、直线、平面之间的位置关系》
    知识网络
    1.平面的基本性质
    --------------------------------------------------------
    名称   图示       文字表示                  符号表示
    --------------------------------------------------------
    公理              如果一条直线上的         A∈ι,B∈ι,
                     
    两点在一个平面内         且A∈α,
                      ,那么这条直线在此       B∈α =>ιCα  
                      平面内
    --------------------------------------------------------
    线在面内的依据
    2.空间两直线的位置关系
    (1)共面直线:相交直线:同一半面内,有且只有一个公共点:
                  平行直线:同一半面内,没有公共点:
        异面直线:不同在任何一半面内,没有公共点。
    (2)平行公理
    公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。
    (3)等角定理
    空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
    (4)异面直线所成的角
    ①定义:设α,b是两条异面直线,经过空间任意一点O作直线α'∥α,b'∥b。把α'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线α与b所成的角(或夹角)。
    ②范围:(0,π/2]
    3.直线与平面的位置关系
    --------------------------------------------------------------
    位置关系            图示     符号表示       公共点个数
    直线ι在平面α内                ιCα             无数个
    -----------------------------------------------------------
    直线ι与平面α相交              ιCα=A           一个
    -----------------------------------------------------------
    直线ι与平面α平行              ι∥α            0个
    -----------------------------------------------------------
    4.平面与平面的位置关系
    -------------------------------------------------------
    位置关系       图示   符号表示       公共点个数
    两平面平行            α∥B           0个
    -------------------------------------------------------
    两平面相交           α∩β= ι    无数个(这些公共点均在交线ι上)
    -------------------------------------------------------
    5.线面的平行关系
    线线平行=> 线面平行=> 面面平行
    线线平行<= 线面平行<= 面面平行
    6.线面的垂直关系
    线线垂直=> 线面垂直=> 面面垂直
    线线垂直<= 线面垂直<= 面面垂直
    例题讲解
    一、平面的性质
    1.以下四个命题中,正确命题的个数是()
    ①不共面的四个点中,其中任意三点不共线;
    ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;
    ③若直线a、b、共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
    ④首尾依次相接的四条线段必共面。
    A.0      B.1
    C.2      D.3
    2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()
    A.平行或异面     B.相交或异面
    C.异面           D.相交
    二、异面直线所成角的计算
    例、如图,三棱椎P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点。
    (1)求异面直线AE和PE所成角的余弦值。
    (2)求三棱椎A-PBC的体积。
    解:(1)取BC的中点F,连续EF、AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成角。
    ∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC。
    ∴AF=3,AE=2,EF=2;
    cos∠AEF=(2+2-3)/(2×2×2)=1/4,所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为1/4。
    (2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距离为1/2PA=1,VA-EBC=VE-ABC=1/3×(1/2×2×2×(-,3)/2)×1=(-,3)/3。
    三、直线与平面平行的性质与判定
    例、如右图所示,已知P、Q是单位正方形ABCD—A1B1C1D1的面A1B1AB和面ABCD的中心。
    求证:PQ∥平面BCC1B1
    证:如右图②,连续AB1,B1C,
    ∵△AB1C中,PQ分别是AB1和AC的中点,∴PQ∥B1C。
    又PQ¢平面BCCB1,BC C平面BCC1B1,
    ∴PQ∥平面BCC1B1
    另证:取AB的中点M,连续PM,QM,证明平面PQM∥平面BCC1B1
    6、直线与平面的垂直
    例,如右图,在矩形ABCD中,AB=3 BC=3,沿对角线BD把ΔBCD折起,使C移到C',且C'在面ABD内的射影O恰好落在AB上。
    (1)求证:AD⊥BC';
    (2)求证:平面DBC'⊥平面ABC'。
    证明:(1)由题意知,C'O⊥平面ABD。

    ∵C'O C平面ABC’,∴平面ABC'⊥平面ABD。
    又∵AD⊥AB,平面ABC'∩平面ABD=AB,
    ∴AD⊥平面ABC',∴AD⊥BC'。
          

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