课程内容

《基本不等式√ab≤(a+b)/2（2）》
一、复习、回顾两个重要不等式
①a²+b²≥2ab（a，b∈R）
  √ab≤（a+b）/2（a，b∈R⁺）
②基本不等式成立的三个要素：一正、二定、三相等
③基本不等式的简单应用
二、基本不等式的应用
应用1：判断代数式或数的大小关系
例1：设a＞0，b＞0，给出下列不等式
（1）a+1/a≥2               （2）（a+1/a）（b+1/b）≥4
（3）（a+b）（1/a+1/b）≥4  （4）a²+2+1/（a²+2）≥2
其中成立的是__________________
等号能成立的是________________
例2：若a＞b＞1，P=√（lga·lgb），Q=1/2（lga+lgb），R=lg[(a+b)/2]，则（   ）
     A、R＜P＜Q    B、P＜Q＜R
     C、R≤P≤Q    D、P≤Q≤R
应用2：求最大（小）值问题
提醒：利用a+b≥2√ab（a＞0，b＞0），求最值时要注意：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。
           两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“=”，否则会出现错误。
（1）构造积为定值，求和的最值
例3：已知x＞0，y＞0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值。
例4：已知x＞1，求y=x+1/（x-1）的最小值以及取得最小值时x的值。
变式：求y=2+3x+1/（x-1）的最小值。（其中x＞1）
又例：当x≥1时，求4x²+1/x的最小值。
（2）构造和为定值，求积的最值
例5：已知：0＜x＜1/3，求函数y=x（1-3x）的最大值。
应用3：证明不等式
例6：已知a，b，c，d都是正数，求证：
（1）（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd
（2）a+b+c≥√ab+√bc+√ca
例7：已知a，b，c∈R，求证√（a²+b²）+√（b²+c²）+√（c²+a²）≥√2（a+b+c）
应用4：求实际问题中的简单应用
例8：（1）用篱笆围一个面积为100m²的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
三、课程思考
已知正数x，y满足2x+y=1，求1/x+1/y的最小值。