课程内容

《等比数列》
教学目标：
1、通过实例理解等比数列的定义。
2、探究并掌握等比数列通项公式，并会用此公式解题。
3、体会等比数列与指数函数的关系。
教学重难点：
重点：对等比数列定义的理解和通项公式的应用。
难点：正确运用等比数列通项公式。
1、等比数列：
    一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列{a_n}：a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n，…
用符号表示为：
  a₂/a₁=a₃/a₂=…=a_n+1/a_n=…=q
即a_n/a_n-1=q（q为常数且q≠0，n∈N^*且n≥2）
问：数列a，a，a，a，…（a∈R）是否为等比数列？如果是，a必须满足什么条件？
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G²=ab
[说明]在一个等比数列中，首末两项除外，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项。
思考：在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，那么数列中的各项能不能用a1和q来表示？
等比数列的通项公式：a_n=a₁q^n-1（a₁≠0，q≠0）
探究：数列{a_n}，a_n=2^n-1的图象与函数y=a^x-1的图象有什么区别与联系？
释疑：其通项公式为a_n=2^n-1的数列其图象应为函数y=a^x-1上一群孤立的点。
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？
例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。
小结：
1、数列{a_n}是等比数列，则a_n+1/a_n=q（q≠0，n∈N^*），反之也然。
2、三个数a，G，b成等比数列 → ab=G²
3、等比数列的通项公式为：a_n=a₁q^n-1（a₁≠0，q≠0）
4、公比q是一个可正可负的常数，但不能为零，q为1时是常数列。
5、在等比数列的通项公式中含有a_n，a₁，q，n四个量，知三可求一。（利用方程或者方程组解）